(0.2.12)
满足式（0.2.12）约束条件，并使登月舱实现软着陆的推力 u(t)不止一种，其中使燃料消耗最少的推力，便是所求的最 优推力u*(t)。这时可以将问题归结为寻求登月舱所剩燃料 为最多，即 J m(t f ) （0.2.13）
为最大的推力u*(t)。
综上所述，可以将登月舱在月球表面的软着陆问题抽象 成为如下的最优控制问题：
§0.2 最优控制问题的实例
例0.2.1 升降机的最速降落问题 设有一升降机W，如图0-1所示，其质量为m。它一方 面受重力的作用，其值为mg（g为重力加速度），另一方 面受控制器作用力的作用，其值为u(t)，并且u(t)满足下列 不等式：
u (t ) u M
x
（0.2.1）
u(t) W x(t) 地面 图0－1 mg
t0 tf t0
[ X (t f ), t f ]和 L[ X (t ),U (t ), t ]dt 都是X(t)与t的连续可微的标量函数。
由式（0.3.1）～（0.3.4）所给定的问题称为最优控制问题。 U(t)——最优控制，记为U*(t) X(t)——最优轨线，记为X*(t)
最优控制的组成部分：
在终端时刻tf时的温度为：
x (t f ) T f
（0.2.16）
在给定时间tf内，搅拌槽散失的热量可利用下式表示：
J [ qx 2 (t ) ru 2 (t )]dt
0 tf
（0.2.17）
其中q和r都是正的常数，称为加权系数。于是，本例所提出 的最优控制问题是：
要求确定搅拌槽入口液体温度u(t)的变化规律，使槽中的液 体从t=0开始到t=tf为止，由0℃上升到给定的Tf℃，并要求散 失的热量为最少，即使式（0.2.17）中的J为最小。
•
•
•
最优控制必须满足三个条件：
最优控制一定是容许控制，即U*(t)∈ΩRm； 最优控制必须将状态X(t)由初态X(t0)转移到目标集M中 的某个终态X(tf)； 最优控制必须使性能指标达到极大值或极小值，即在某 种意义下达到最优值。
§0.4
最优控制发展过程的回顾与展望
最优控制是现代控制理论的一个重要组成部分，现代控 制理论是在本世纪50年代和60年代初发展起来的，它在状态 空间中，利用状态方程和输出方程（又称为观测方程）： X (t ) f [ X (t ),U (t ), t ] Y (t ) g[ X (t ),U (t ), t ] 来描述动态系统的运动规律。 作为现代控制理论的一个重要组成部分的最优控制，早 在本世纪50年代初期就开始出现从工程观点出发研究时间最 优控制问题的文章。
最优控制发展历史：
古典变分法：只能解决容许控制属于开集一类的最优 控制。 1953年～1957年：美国贝尔曼创立动态规划。 1956年～1958年：前苏联庞得里雅金等学者创立了最 大值原理。
目前活跃的研究分支：
随机系统的最优控制 非线性系统最优控制 混合系统最优控制 最优控制中的神经网络技术（与神经计算有关） 遗传算法的应用（遗传算法是一种全局寻优方法，现在 主要研究其应用） 鲁棒控制（如非线性鲁棒控制） 混沌优化理论
（0.2.7）
并使性能指标：
J dt t f t0
t0 tf
（0.2.8）
为最小。这样的控制作用u(t)称为最优控制，记为u*(t)，与 最优控制u*(t)相对应的状态X(t)=[x1(t)，x2(t)]T称为状态最优 轨线，记为X*(t)。
例0.2.2 登月舱的月球软着陆问题（落 在月球表面的速度为零）
§0.3 最优控制问题的提法
最优控制的一般提法叙述如下： 给定受控系统的状态方程
X (t ) f [ X (t ),U (t ), t ]
（0.3.1）
和初始条件 X ( t0 ) X 0
（0.3.2）
其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，并满足约束 条件
U (t ) , t [t0 , t x2 (t0 ) x20
（0.2.6）
问题可叙述如下：选择一个满足约束条件（0.2.1）的控 制作用u(t)，使得系统（0.2.5）以最短的时间由初态（0.2.6） 转移到末态：
x1 (t f ) 0 x2 (t f ) 0
x (t ) u (t ) g m
（0.2.4）
若令：
x1 (t ) x (t ) x2 (t ) x1 (t ) x (t )
则得升降机W的状态方程：
x1 (t ) x2 (t ) u (t ) x2 ( t ) m g
和初始条件：
如图0-2所示，设登月舱的质量m(t)，它 离月球表面的高变为h(t)，垂直运动速度为 v(t)，发动机的推力为u(t)，月球表面的引力 加速度为常数g。设登月舱自身的质量为M1 ，所携带的燃料质量为M2，初始高度为h0， 初始的垂直速度为v0。登月舱自某时刻t0=0 开始进入登月着陆过程，其运动方程式为：
要求：
主要内容的每一部分都有作业，课后自行完成， 不定期抽查。考试内容与作业题有关。 如果选修的同学，缺课率超过1/5，不能参加考 试。
绪
论
§0.1 引言
最优控制研究的中心问题是：如何根据受控系统的 动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技 术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指 标”在一定意义下达到最优值。
J [ X (t f ), t f ] L[ X (t ),U (t ), t ]dt
t0 tf
（0.3.4）
达到极值。
[ X (t f ), t f ] ——终值型性能指标；

tf
t0
L[ X (t ),U (t ), t ]dt ——积分型性能指标；
tf
[ X (t f ), t f ] L[ X (t ),U (t ), t ]dt ——复合型性能指标；
最 优 控 制
李钟慎 华侨大学机电及自动化学院
主要内容：
变分法及其在最优控制中的应用 最大值原理（或最小值原理） 时间、燃料最优控制问题 线性二次型最优控制问题 线性二次型最优控制的MATLAB实现 离散时间系统的最优控制 动态规划
参考书目
吴沧浦．最优控制的理论与方法（第二 版）．北京：国防工业出版社，2000 胡中楫，邹伯敏，林冬青等．最优控制原理 及应用．杭州：浙江大学出版社，1988 Locatelli A . Optimal control : an introduction. Birkhauser, 2001 刘培玉．应用最优控制．大连：大连理工大 学出版社，1990 解学书．最优控制理论与应用．北京：清华 大学出版社，1986 黄忠霖．控制系统MATLAB计算及仿真．北 京：国防工业出版社，2001
u(t) m(t) h(t) mg
月球表面 图0－2
h ( t ) v ( t ) u (t ) v (t ) g m( t ) m(t ) ku(t )
（0.2.9）
其中，k为某一常数，现在要求控制登月舱从初始状态：
h(0) h0 v ( 0) v 0 m ( 0) M M 1 2
受控动态系统的数学模型，即动态系统的状态方程。 集中参数时： X (t ) f [ X (t ),U (t ), t ] 线性时变系统：X (t ) A(t ) X (t ) B (t )U (t ) 线性定常系统： X (t ) AX (t ) BU (t ) 受控动态系统的初态与终态， 即状态方程的边界条件。 X(tf)∈M(目标集) 容许控制。 最优控制一定是容许控制，即U(t)∈ΩRm 性能指标
Q
因为槽中液体处于完全的混合状态，所以可以用x(t)表示 混合液体的温度。由热力学的知识可知，槽中液体温度的变化 率与温差[u(t)－ x(t)]成正比，于是有
x(t ) k[u(t ) x(t )]
（0.2.14）
其中，k为常数。槽中液体初始温度为： x(0) 0 （0.2.15）
寻求满足约束条件（0.2.12）的发动机的最优推力规律u*(t)， 使登月舱从初始状态（0.2.10）转移到终端状态（0.2.11）， 并使性能指标（0.2.13）达到最大值。
例0.2.3 连续搅拌槽的温度控制问题 设有一盛放液体的连续搅拌槽，如图 u(t) 0-3所示，槽内装有不停地转动着的搅拌器 Q ，使槽内液体处于完全的混合状态。槽中 x(t) 原来盛放有0℃的某种液体，现在需要将 其温度在给定的一段时间tf内升高到某一 给定的温度Tf℃。为此，在入口处流入一 定量的液体，温度为u(t)，而在出口处流 图0－3 出等量的液体，以便保持糟内液面恒定。 试确定流入槽内液体的温度u(t)的变化规 律，使槽中原有的液体在给定的时间内由 0℃上升到给定的温度Tf℃ ，并使搅拌槽 散失的热量为最少。
（0.2.10）
出发，在某一终端时刻tf实现软着陆，即要求：
h ( t f ) 0 v ( t f ) 0 m ( t ) M f 1
（0.2.11）
在控制登月舱软着陆的过程中，推力u(t)不能超过发动机所 能提供的最大推力uM，即u(t)应满足下面的约束条件：
0 u(t ) uM
其中，uM为大于mg的常数。设x(t) x 是升降机W离地面的高度， (t ) 是 升降机W垂直运动的速度。假定在 初始时刻t0时，升降机W离地面的 高度与垂直运动的速度分别为：
0
x(t0 ) x10 x(t0 ) x20
（0.2.2）
我们所讨论的问题是如何选择控制作用u(t)的变化规律，使得 升降机W最快到达地面，并且要求到达地面的速度为零，即 要求： x (t f ) 0 （0.2.3） x (t f ) 0 根据牛顿第二定律，有：