第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式.知识点拨一、裂项综合(一)、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b ⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征:(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
(二)、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式:(1)11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、换元解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简.三、循环小数化分数0.9a =; 0.99ab =; 0.09910990ab =⨯=; 0.990abc =,…… 2、单位分数的拆分:例:110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析:分数单位的拆分,主要方法是:从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有:11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如:选1和2,有:11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有: 1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲 模块一、分数裂项 【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】 计算:57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ . 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.【巩固】 计算:5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯()【巩固】 计算:3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 3】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 111111212312100++++++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……,【例 5】22222211111131517191111131+++++=------ .【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项:22()()a b a b a b -=-⨯+, 【例 6】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+【例 7】121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n n n n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+--【例 8】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【解析】 22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++【例 9】 计算:22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【解析】 通项公式:()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+,【巩固】 计算:222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ 【解析】 本题的通项公式为221005000n n n -+,没办法进行裂项之类的处理.注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦,可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变,所以可以把原式子中的分数两两组合起来,最后单独剩下一个22505050005000-+.将项数和为100的两项相加,得 ()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+, 所以原式249199=⨯+=.(或者,可得原式中99项的平均数为1,所以原式19999=⨯=)【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 【解析】 虽然很容易看出321⨯=3121-,541⨯=5141-……可是再仔细一看,并没有什么效果,因为这不象分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子,每一项的分母容易让我们想到公式 ,于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n= ..减号前面括号里的式子有10项,减号后面括号里的式子也恰好有10项,是不是“一个对一个”呢?模块二、换元与公式应用【例 11】 计算:3333333313579111315+++++++【例 12】 计算:234561111111333333++++++ 【解析】 法一:利用等比数列求和公式。
原式71113113⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 7132641132729⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 法二:错位相减法.设234561111111333333S =++++++ 则23451111133133333S =++++++,61333S S -=-,整理可得3641729S =. 法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中的分子为3,与公比4差1, 所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方法,需要将每一项的分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算,最后再将所得的结果除以2即得到原式的值.由题设,2345622222222333333S =++++++,则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=,整理得到3641729S =.【例 13】 计算:22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【例 14】 计算:222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ .【例 16】 计算:1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+三、循环小数与分数互化【例 17】 计算:0.1+0.125+0.3+0.16,结果保留三位小数.【例 18】 某学生将1.23乘以一个数a 时,把1.23误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?【例 19】 有8个数,0.51,23,59,0.51,2413,4725是其中6个,如果按从小到大的顺序排列时,第4个数是0.51,那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?【例 20】 真分数7a 化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么a 是多少?【例 21】 20022009和1287化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.【解析】 如果将20022009和1287转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦,通过观察计算我们 发现2002112009287+=,而10.9⋅=,则第100位上的数字和为9.【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立.【例 23】 ()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=-- 注:这里要先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是__________。