第二讲 解的延拓（3学时）教学目的：讨论解的延拓定理。

教学要求：理解解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应用解的延拓定理讨论解的存在区间。

教学方法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。

教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

教学过程：解的存在唯一性定理的优点是:在相当广泛的条件下,给定方程:),(y x f dxdy =有满足初值条件00)(y x y =的唯一解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的一个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很小,因而相应的微分曲线也只是很短的一段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯一区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯一区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增大,解存在的唯一区间反而缩小,这显然是我们不想看到的,而且实际要求解存在下载向尽量大,这就促使我们引进解的延拓概念.扩大解存在不在此区间.1． 局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每一点P,有以P 为中心完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满足Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的大小和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满足局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果方程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件,那么方程(3.1)的通解过G 内任何一点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ϕ任意接近G 的边界.以向X 增大的一方延拓来说,如果)(x y ϕ=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ϕ趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ϕ=是初值问题（2，2）在区间 1I R ⊂上的一个解，如果（2.2）有一个在区间 2I R ⊂上的解 2()y x ϕ=，且满足(1) 12,I I ⊂(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ϕϕ≡则称解 1()y x ϕ=，1x I ∈ 是可延展的，并称 2()x ϕ是 1()x ϕ在2I 上的一个延展解. 否则，如果不存在满足上述条件的解 2()x ϕ，则称 1x I ∈，1()x ϕ是初值问题(2.2)的一个不可延展解(亦称饱和解)。

这里区间1I 和2I 可以是开的也可以是闭的.2.3.2 不可延展解的存在性定义2.2 设 ),(y x f 定义在开区域2D R ⊂上，如果对于D 上任一点 00(,)x y ，都存在以 00(,)x y 为中心的，完全属于D 的闭矩形域R ，使得在R 上 ),(y x f 的关于y 满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R 的大小以及常数N 可以不同，则称 在D 上关于y 满足局部李普希兹条件.定理2.3 如果方程(2.1)的右端函数 ),(y x f 在区域 2D R ⊂上连续，且对y 满足局部李普希兹条件，则对任何 00(,)x y D ∈，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.证明思路 仅证 0x x >方向，（ 0x x <方向同理）．任取点000(,) 2.2P x y DTheorem∈ 存在唯一解0()y x ϕ=在 (1)000000[,][,]I x x x x h ==+上有定义．又点 11100(,) 2.2P x y DTheorem∈ 存在唯一解 0()y x ϕ=在 (2)1000001[,][,]I x x x x h h ==++上有定义．图2—8 由解的唯一性，在I 0和I 1的公共部分上， 011()()()x x x ϕϕϕ=⇒是 0()x ϕ的一个延展解．继续这种延展过程，直到一个解(),(,)y x x ϕαβ=∈，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解， (,)αβ就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明．显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间。

因为如果区间右端点 α是闭的，那么解 ()y x ϕ=的曲线可以达到 β.于是点(,())D βϕβ∈，由定理2.2，可将 ()y x ϕ=延展到 β的右方，这与 (),(,)y x x ϕαβ=∈是不可延展解矛盾. 同理，这个区间的左端点也必定是开的.2.3.3 不可延展解在端点的性状下面讨论初值问题(2.2)的不可延展解 (),(,)y x x ϕαβ=∈，当x 趋于区间的端点时的性状引理 设20D R ⊂是有界开区域， (,)f x y 在0D 上有界 (,)f x y M ≤，且对y 满足局部李普希兹条件。

如果 (),(,)y x x ϕαβ=∈是初值问题(2.2)在0D 上的不可延展解， 则当0x α→+或 0x β→-时，相应积分曲线上的点(,())x x ϕ都趋于0D 的边界.证明 首先证明极限 00(0)lim (),(0)lim ()x x x x αβϕαϕϕβϕ→+→-+=-= 的存在性。

事实上，由于初值问题(2.2)的解 ()y x ϕ=满足下面的积分方程00()(,()),xx x y f s s ds x ϕϕαβ=+<<⎰ 因此对任意 12,(,)x x αβ∈，有211212()()(,())x x x x f s s ds M x x ϕϕϕ-≤≤-⎰可知(0)ϕα+和 (0)ϕβ-都存在。

记0D 的边界为0D ∂，现证明0(,(0)).D βϕβ-∈∂利用反证法，假如是 (,(0))βϕβ-是0D 的内点，则由定理2.2可知，存在 0h >，使得解 ()y x ϕ=可以延到区间 [,]h ββ+上，这与β是不可延展解 ()x ϕ的存在区间的右端点的假设矛盾.因此点 (,(0))βϕβ-属于0D 的边界点。

同理，点 (0)ϕα+也属于0D 的边界点.证毕.现在我们可以给出不可延展解的重要性质：定理2.4 如果方程(2.1)的右端函数(,)f x y 在(有界或无界)区域D 上连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，那么对于D 上任意一点 00(,)x y ，方程(2.1)的以 00(,)x y 为初值的不可延展解 (),(,)y x x ϕαβ=∈，当0x α→+和0x β→-时，相应积分曲线上的点(,())x x ϕ都趋于D 的边界.证明 作有界区域 ,1,2,,n D n = 使得0012(,)n x y D D D D ∈⊂⊂⊂⊂⊂ 且1,1,2,,n n D D n +⊂= 当n →∞时，n D D →。

显然，当D 为平面上有界区域时，只要取D n 为D 的边界D ∂的内侧邻域即可。

当D 为无界时，可取D 与闭圆域222:,1,2,n S x y n n +≤=的交集,1,2,.n n D D S n == 如此取的D n 满足上面的条件.对于区域1D ，由于 1D D ⊂，由引理可知积分曲线 ()y x ϕ=可以到达D １的边界点A １和B １．对于区域D ２，再次利用引理，积分曲线 ()y x ϕ=又可以到达2D 的边界点A ２和B ２．如此继续下去，积分曲线可以到达D n 的边界点A n 和B n ，于是我们在积分曲线上得到两个点列{}n A 和{}n B ，,,1,2,n n A B D n ∈∂= ．因为当n →∞时，n D D →，所以n A 和n B 分别趋于D 的边界，证毕．注1 “积分曲线趋于D 的边界”是指积分曲线上的点 (,())x x ϕ当 0x α→+ 和 0x β→-可以与 D ∂无限接近，但是极限不一定存在。

通常把向 0x 右侧延展的解称为右行解，反之则称为左行解.由上面的证明，不难得到.推论 在定理2.4中的右行不可延展解的存在区间必为下列情形之一：(1)［ 0x ，＋∞），(见图2-9-1)，或(2)［ 0x ，b )，b 为有限数在后一种情形下，有且仅有下面二种可能① 当x →b -0时， ()y x ϕ=无界；(见图2-9-2),② ()y x ϕ=在［x 0, b ］上有界，且0lim ((,()),)x b d x x D ϕ→-∂ 注2 ()y x ϕ=在［x 0, b )上有界时，若 0lim ()x b x ϕ→-存在有限值d ，那么(,)b d D ∈∂,(见图2-9-3).若 0lim ()x b x ϕ→-不存在，x →b -0时， ()x ϕ的值振荡,那么lim ((,()),)0x b d x x D ϕ→-∂=.(见图2-9-4). 左行不可延展解的存在区间有相同结论.图 2-9-1 图 2-9-2图 2-9-3 图 2-9-4例1 试讨论方程2dy y dx=通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间。

解 此时区域D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是1y C x =-故通过(1,1)的积分曲线为12y x=-它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10.图 2-10通过(3,-1)的积分曲线为 12y x=- 它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞). 顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管 (,)f x y 在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D 的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2 讨论方程211cos dy dx x x=- 解的存在区间.解 方程右端函数在无界区域 1{(,)0,}D x y x y =>-∞<<+∞ 内连续，且对y 满足李普希兹条件，其通解为1s i n ,0y C x x=+<<+∞ 过1D 内任一点 00(,)x y 的初值解.图 2-110011sin sin y y x x =+-在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D １的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是2{(,)0,}D x y x y =<-∞<<+∞类似的. 延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例3 考虑方程22()(,)dy y a f x y dx=- 假设 (,)f x y 及 (,)f x y '在 xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0y a <,方程满足 00()y x y =的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12 证明 根据题设，可以证明方程右端函数在整个 xoy 平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件。