§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 在初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程),(y x f dxdy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ϕ=,它满足0000(,,)y x x y ϕ=.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式00(,,)y x x y ϕ=证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ϕ=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为11(,,)y x x y ϕ=并且,有0011(,,)y x x y ϕ=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ϕ=对该积分曲线上的任意点均成立.2、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ϕ及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式0||00|()()||()()|L x x x x x x e ϕψϕψ--≤- （3.17）其中为所考虑区域内的某一值.证明设()x ϕ,()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令2()[()()],V x x x a x b ϕψ=-≤≤则()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ϕψϕψ'=--于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ϕψϕψ''≤=--≤22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤从而 2(())0Lx d V x e dx-≤ 所以,对0[,]x a b ∀∈,有02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为(,)dy f t y dx=-- 而且已知它有解()y t ϕ=-和()y t ψ=-.类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 有解00(,,)y x x y ϕ=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε，(,,)0a b δδε∃=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤.证明记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ϕϕ=≡≤≤是平面上一个有界闭集.第一步:找区域,使S D ⊂,而且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件.由已知条件,对(,)x y S ∀∈,存在以它为中心的开圆,C C G ⊂,使(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,,)i C i N =(不同的,其半径和Lipschitz 常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令1Ni i G C ==,则S G G ⊂⊂,对0ε∀>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=∂==,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域D G G ⊂⊂,且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为.第二步:证明(,,)0(a b δδεδη∃=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψϕ==在区间a x b ≤≤上也有定义.由于是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知,解00()(,,)y x x x y ψϕ==必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有0||00|()()||()()|,L x x x x x x e c x d ϕψϕψ--≤-≤≤利用()x ϕ的连续性,对()112L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有01|()()|x x ϕϕδ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有0002||22002||200002||2200002101|()()||()()|2(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e y ϕψϕψϕϕϕψϕϕϕψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()022()21|) 4 ()L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤ (3.18) 于是对一切[,],|()()|x c d x x ϕψη∈-<成立,特别地有|()()|c c ϕψη-<,|()()|d d ϕψη-<即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.第三步 证明|()()|,x x a x b ϕψε-<≤≤.在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕηε-<≤≤≤.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.证明 对00(,)x y G ∀∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ϕ=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈下证00(,,)y x x y ϕ=在上连续. 对00(,,)x x y V ∀∈,[,]a b ∃,使解00(,,)y x x y ϕ=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈. 对10,0εδ∀>∃>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时,0000(,,)(,,),2x x y x x y a x b εϕϕ-<≤≤ 又00(,,)y x x y ϕ=在[,]x a b ∈上对连续,故20δ∃>,使得当2||x x δ-≤时有0000(,,)(,,),,[,]2x x y x x y x x a b εϕϕ-<∈ 取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有000000000000(,,)(,,)|(,,)(,,)||(,,)(,,)|22x x y x x y x x y x x y x x y x x y ϕϕϕϕϕϕεεε-≤-+-<+=从而得知00(,,)y x x y ϕ=在上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数的微分方程(,,)dy f x y dxλ:(,),G x y G λαλβ∈<< (3.19) 如果对(,,)x y G λλ∀∈，都存在以(,,)x y λ为中心的球C G λ⊂，使得对任何12(,,),(,,)x y x y C λλ∈，成立不等式1212|(,,)(,,)|||f x y f x y L y y λλ-≤-其中是与无关的正数，称函数(,,)f x y λ在内关于一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一0(,)λαβ∈，方程（3.19）通过点00(,)x y G ∈的解是唯一确定的，记这个解为000(,,,)y x x y ϕλ=.设(,,)f x y λ在内连续,且在内关于一致地满足局部的李普希兹条件,000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(3.19)通过00(,)x y 的解,在区间a x b ≤≤上有定义,其中0a x b ≤≤,则对0,(,,)0a b εδδε∀>∃=>,使得当222200000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时,方程(3.19)通过点00(,)x y 的解00(,,,)y x x y ϕλ=在区间a x b ≤≤上也有定义,并且 00000(,,,)(,,,),[,]x x y x x y x a b ϕλϕλε-<∈5、解对初值和参数的连续性定理设函数(,,)f x y λ在区域内连续，且在关于一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19) 的解00(,,,)y x x y ϕλ=作为00,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.6、 解对初值的可微性定理如果函数),(y x f 以及y y x f ∂∂),(都在区域内连续，则对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明 由yy x f ∂∂),(在区域内连续，可知),(y x f 在内关于满足局部Lipschitz 条件，根据解对初值的连续性定理，),,(00y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的.下面证明函数00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内的任一点偏导数00,,x x y ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂存在且连续. (,),f x xϕϕ∂=∂显然存在且连续.x ϕ∂∂先证存在且连续. 00000(,)(,)x y x x y +∆由初值和所确定的解分别为 00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x x y ϕψ=+∆≡ 即 00(,),xx y f x dx ϕϕ≡+⎰000(,),x x x y f x dx ψψ+∆≡+⎰ 于是 000(,)(,)x xx x x f x dx f x dx ψϕψϕ+∆-≡-⎰⎰000(,)x x x f x dx ψ+∆=-⎰0(,())()x x f x dx y ϕθψϕψϕ∂+-+-∂⎰ 01,,,f yθϕψ∂<<∂其中注意到及的连续性有 (,())f x y ϕθψϕ∂+-=∂1(,)f x r yϕ∂+∂ 010100,00.x r x r ∆→→∆==这里当时,且时,类似有 00000201(,)(,)x x x f x dx f x y r x ψ+∆-=-+∆⎰120,0r r x ∆≠其中与具有相同性质因此对有 0002100(,)()[(,)][]x x f x f x y r r dx x y x ψϕϕψϕ-∂-≡-+++∆∂∆⎰ 即 0z x ψϕ-=∆是初值问题100020(,)[]()(,)dz f x r z dxy z x f x y r z ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=-+≡⎩ 的解，00,x ∆=显然当时上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理0000,,,,z x x z x x ψϕ-=∆∆知是的连续函数从而存在0000lim x x x ψϕϕ∆→-∂≡∆∂x ϕ∂∂而是初值问题 000(,)()(,)dz f x z dx y z x f x y ϕ∂⎧=⎪∂⎨⎪=-⎩ 的解,容易得到0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数.y ϕ∂∂同样可证存在且连续. 00000(,)(,)x y x y y +∆设由初值和所确定的解分别为00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x y y ϕψ=+∆≡ 类似上述方法可证0z y ψϕ-=∆是初值问题30(,)[]()1dz f x r z dx y z x ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=⎩ 的解.因而030(,)exp([])x x f x r dx y yψϕϕ-∂=+∆∂⎰ 其中具有性质:030300,00.y r y r ∆→→∆==当时,且时,所以有00000(,)lim exp()x x y f x dx y y yϕψϕϕ∆→∂-∂==∂∆∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数. 故00(,(,,))f x x x y xϕϕ∂=∂ 0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00(,)exp()x x f x dx y yϕϕ∂∂=∂∂⎰例1已知方程为)sin(xy dx dy =试求00000==∂∂y x y ϕ，00000==∂∂y x x ϕ. 解：方程右端函数(,)sin()f x y xy =在平面内连续，且)cos('xy x f y =也在平面内连续，且其满足0)0(=y 的解为0y =. 于是20210cos 000),,(x ds s e e y y x x y x =⎰=∂∂，00sin ),,(00cos 000=⎰-=∂∂x ds s e x y x x y .。