索末菲(A.Sommerfld)的量子自由电子理论
价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部
大
海 自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运 大
道
纳 动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互 道
致
百 作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平 致
川 均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
？ 根据泡刺不和容原理，每一个波矢状态只 可以容纳两个自旋方向相反的电子。 海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章 金属电子论基础
在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械 海 性能．是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料 大
纳 功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体 道
百 川
理诧的发展。另一方面．对金属材料的了解，也是认识非金 属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第
ψ (r ) = Ceik⋅r (5 − 5) k
k 波矢，
λ = 2π 为电子的德布罗意波长。 k
海
∫V ψk (r) 2dr=1
E
dk
kx 大
纳 (2)计算:
道
百
波矢 川 密度
两个等能面间 的波矢状态数
两等能面间的 电子状态数
E ~ E + dE 两等能面间的波矢状态数：
能态 致 密度 远
VC
(2 π )3
× (k空间
E
~
E
+
dE两等能面间的体积
)
dZ
=
VC
( 2π )3
× 4π k 2dk
=
VC 2π2
k 2dk
(5 − 14)
0.1nm
川 远
远
ρm是元素的质量密度
rs a0
A是元素的相对原子量 NA阿伏伽德常数
n → 1022 ∼ 1023 cm−3
海
a0
=
4πε 0 me2
2
=
0.529 × 10−10 m
玻尔半径
南大学
rs a0
多数金属在2和3之间，碱金属则在3和6之间。
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2
第
海 纳 百 川
海南大学
第
5.1.2 单电子本征态
远
础上，利用泡利不相容原理，将N个电子填充到这些能级 远
中，获得N个电子的基态。
忽略电子—原子实相互作用以及电子—电子相互作 用，只考虑一个电子在晶格平均场和其它电子的平均场 中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础。
海南大学
第
1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均
海 势能的势场中运动)；其中，每一个电子所具有的状态就是在 一定深度势讲中运动的位子所具有的能态，称为单电子的本
大
纳 征态；
道
百 (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
致
川 2.薛定谔方程及其解
远
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深
度是无限的。每个单电子的波函数满足
⎡ ⎢
−
⎣
2
2m
∇2
+V
V 4π2
⎛ ⎜⎝
2m
2
⎞3/2 ⎟⎠
E 1/2
(5 − 16)
远
由式（5-16）可知，自由电子气体的能 dZ
态密度随能量变化，电子的能级越大，相应 dE
的能态密度也越大。但是，自由电子气体能
态密度随能级的变化不是线性的，而是成抛
物线关系，如图5-2示。
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E
第
Example 1一维电子的状态密度
海 空间或 k空间。
大
纳
金属中自由电子波矢：
kx
=
2πnx L
,k y
=
2πn y L
,kz
=
2πnz L
道
百
川
由于沿kx轴相邻的两个点之 间的间距均为2π/L，
致 远
(1)在波矢空间每个(波矢)状 态代表点占有的体积为：
Δk
=
Δk x Δk y Δkz
=
(2π )3 Lx Ly Lz
=
8π 3 Vc
nx
( nx
=
0, ±1, ±2,⋅⋅⋅)
(1)
所以两个分立值之间的距离为2Л/L，因此单位长度允
许的状态数目为L/ 2Л 。
海南大学
4
第
而在dk范围内容纳的状态数为
dZ = L dk (2)
2π
海 根据《固体物理学）式（5-7）
纳
E = 2k2 (5 − 7)
2m
百有
川
k = 2mE (3)
⎛ dk = d ⎜⎜⎝
由周期性边界条件：
⎧ψ(x+L, y,z) =ψ(x, y,z)
⎪⎨ψ(x, y+L,z) =ψ(x, y,z) (5−10)
海 ⎪⎩ψ(x, y,z+L) =ψ(x, y,z)
大
纳 一维情况，（5-10）可以写成 ψ ( x + L) =ψ ( x)
道
百 川
又相消当除于了将边L界长的的存金在属。线三首维尾，相电接子形进成入环相，对从表而面即的有对有应限点的。尺寸，致
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第
教学要求、重点
教学要求：
掌握金属自由电子气体模型。
海 掌握电子比热的量子理论。
大
了解逸出功和接触电势差。 纳 了解电场中的自由电子、光学性质、金属电子组率、霍耳效应 道
百
和金属热导率。
致
川
教学重点：
远
费密能、热容量、接触电势差、电子与声子的相互作
用、金属电导率
教学难点：
玻耳兹曼方程、弛豫时间的统计理论、纯金属电阻率
(r
)⎤⎥ψ
⎦
(r )
=
Eψ
(r )
H = pˆ 2 + V , pˆ = −i ∇ 2m 海南大学
(5 − 3)
第
为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度 是无限的。粒子势能为
海
V ( x, y, z) = 0; 0 < x, y, z < L
大
纳
V ( x, y, z) = ∞ x, y, z ≤ 0,以及x, y, z ≥ L
海南大学
第
(2)忽略电子与电子之间的相互作用。即将金属中的自由
电子看做彼此独立运动的、完全相同的粒子。这一假定称为
独立电子近似。
海
(3) 在外场作用下，金属中自由电子将偏移平衡态进入 大
纳 非平衡态。在对平衡态的偏离较小时，可以认为系统恢复 道
百 平衡状态正比于平均碰撞频率，而平均碰撞频率为
致
川
v
=
2mE
⎞ ⎟⎟⎠
致
有关金属的第一个理论模型，是特鲁特（P.Drude）在 远
1900年提出的经典自由电子气体模型。他将在当时已经非常
成功的气体分子动理论运用于金属，以解释金属电导和热导
的行为。1928年索末菲（A.Sommerfeld）又进一步将费
米-狄拉克统计用于电子气体，发展了量子的自由电子气体
模型，从而克服了经典自由电子气体模型的不足。
设有一个长度为L的一维金属线，它共有N个导电电子，
若把这些导电电子看成是自由电子气，试求：
（1）电子的状态密度；
海 （2）绝对零度下的电子电子费米能级，以及费米能级随温 大
纳 度的变化关系；
道
百 （3）电子的平均能量；
致
川 （）电子的比热。
远
解（1）根据周期性边界条件，波矢k只能取下列分立值
k
=
2π L
⎧ e ik x L = 1
⎪⎪ ⎨
e
ik
Y
L
=
1
⎪
⎧ ⎪
k
x
⎪
=
2πnx L
;
远
⎪ ⎨
k
y
⎪
=
2πny L
;
(5 − 11)
⎪⎩e ik Z L = 1 (其中 nx , n y , nz为整数)
⎪ ⎪⎩
k
z
=
2πnz ; L
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第
5.1.3 波矢空间 态密度
1.波矢空间
以波矢 k 的三个分量 k x、k y、kz为坐标轴的空间称为波矢
致
中的状况不同.显然，即使我们做上述筒化，面对的依然是一 远
个粒子数为1011～ 1023cm-3的多体问题，与我们研究气体热
学性质时所面对的问题相似。
海南大学
1
第
第
1.自由电子气模型
1897年汤姆逊（Tompson）发现了电子
自由电子气模型：金属中的价电子同气体分子类似，形