行列式1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。

答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。

2.《线性代数》的前导课程。

答：初等代数。

3.《线性代数》的后继课程。

答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。

4.如何学习《线性代数》？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。

在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。

在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。

第一章行列式5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。

答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。

6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。

答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。

7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。

答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。

例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。

数4与5,数1与2不构成逆序。

& 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。

答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。

例如：上问中的排列45312的逆序数为8。

9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。

例如：排列为偶排列。

4531210.对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】排列的对换对排列的奇偶性的影响。

答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。

例如:偶排列45312对换4与3,则变成排列35412 ,它的逆序数为7,排列35412是奇排列。

11.任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。

答：可经过一系列对换互变。

且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。

例如：排列32541的逆序数是6,因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543 ,再对换5 与3就变为标准排列12345。

对换的次数2与逆序数6都是偶数，但要注意对换的次数与逆序数一般不相等。

12.n阶行列式中的元素的两个下标表示什么？【知识点】：n阶行列式的元素。

答：第一个下标表示元素所在的行数，第二个下标表示元素所在的列数。

例如：a23表示该元素位于行列式的第2行第3列的位置。

13.n阶行列式展开式中共有多少项？每一项有什么特点？【知识点】：n阶行列式的定义。

答：共有n!项，每一项由不同行不同列的n个元素的乘积构成。

例如：3阶行列式共有3! =6项，每一项由不同行不同列的3个元素的乘积构成。

14.n阶行列式展开式中每一项前的符号如何确定？【知识点】：n阶行列式的定义。

答：当n个元素的乘积的第一个下标按标准排列排列时，该项的符号为( -1)的列标排列的逆序数次方。

例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号为(-1)T (4321= +1.15.1阶行列式等于多少？【知识点】：1阶行列式的特点。

答：1阶行列式∣a∣=a°但不要与绝对值混淆。

16.2, 3阶行列式的对角线算法怎样进行？【知识点】：2, 3阶行列式的的定义及特殊性。

答：从左上角到右下角的元素的乘积的项前取正号，从右上角到左下角的元素的乘积的项前取负号。

17. 对角线算法能用于4阶以上的行列式吗？【知识点】：行列式的对角线算法的局限性。

答：不能，因为按对角线算法展开阶行列式只有2n项，而阶行列式的展开式中应有n!项，另外各项前的符号也不能用对角线算法的方法来定。

例如:4阶行列式中的项a14 a23a32 a©的符号应为+ ,按对角线算法的方法它的符号为“一18. 上（下）三角行列式怎样计算？三角行列式的算法。

答：主对角线上的所有元素的乘积。

例如:1 2 6E I 3 7 =Lx3x(-l) = -lO -119. 什么是转置行列式？与原行列式有什么关系？这说明行列式的什么性质？【知识点】：行列式的的对称性。

答：依次将行列式的行写成列后得到的行列式叫转置行列式。

转置行列式与原行列式相等。

这说明行列式的行与列的对称性。

例如：行列式1 -2 5D7 = 2 3 O6 7-1r ;丄。

它们是相等的。

1 2D=-I 35 O671的转置行列式20. 交换行列式的任意两行（列），行列式有什么变化？【知识点】质。

:行列式的基本性1 2 6-2 3 7Z)=-2 3 7312 6=-β.答：行列式要变号。

例如：5 0-1 5 0-121.用一个数k乘行列式，行列式中的元素有什么变化？【知识点】质。

:行列式的基本性答：相当于在行列式的某行（或列）的每个元素上都乘以数k。

例如：3×13×23×6123×63D =-237=-233×7则50-1503×(-l)22.如果行列式中有两行（列）元素相等，则行列式等于多少？【知识点】基本性质。

12 61 2 6 =0.答：行列式等于0。

例如：P O-I23.行列式中某一行（列）所有元素的公因子是否可以提到行列式符号的外面? 识点】：行列式的基本性质。

123×6126-233x7=3×「237答：可以。

例如：503×(-l)50-1D =2 63 7 0 -1:行列式的【知24.若行列式中有某一行（列）的元素全是零，则行列式等于多少？【知识点】式的基本性质。

答：应用23问的答，得行列式等于O。

25.若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于多少？【知识点】式的基本性质。

答：应用22问与23问的答，得行列式等于0。

26.将一个行列式拆成两个行列式的和时应注意什么问题？【知识点】：个行列式的和。

:行列:行列行列式拆成两1 2 612 6 1 2 6-2+4 3 + 5 7-2=-2 3 7+45-25 O -I 5 0-1 5 0-127. 把行列式的某一行（列）元素乘以同一数k后加到另一行对应元素上，行列式有O -1-2答：把子式所在的行和列去掉后剩下的元素构成的行列式。

由第1、3行与第2、3列得到的子式O -1的余子式为划去第1、3行与第2、3列剩下的行列式-2 1 O 8与原行列式相等。

答：行列式不变。

例如：的第2行乘3加到第1行后的行列式28. 行列式的k 阶子式是什么含义? 【知识点】:行列式的k 阶子式。

答：行列式的k 阶子式由某k 行和某 式。

例如： k 列交叉的k 2个元素按原来的顺序排成的k 阶行列-1的由第1、3行与第2、3列得到的一个2阶子式为29.式的余子式是什么含义？【知识点】 :行列式的子式的余子式。

例如:30. 子式的代数余子式是什么含义？【知识点】 ：行列式的子式的代数余子式。

答：子式的代数余子式是在子式的余子式前添上符号I 丿 ，其31.行列式D 的元素a ij 的余子式和代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的元素的余子式和代数余子式的概念。

答：元素a y 的余子式是去掉元素 a ij 所在的第i 行和第J 列后剩下的元素所构成的行列 式。

元素a y 的代数余子式是在元素a y 的余子式前添上符号〔后的式子。

例如:1 2 6 -2 3 750-1一的兀素323=7的余子式是去掉兀素所1 2在的第2行和第3列后剩下的元素所构成的行列式5 ° , a 23=7的代数余子（-1严式是0。

32. n 阶行列式的任一个 k 阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项与行列式中的 项有什么关系？【知识点】：子式与它的代数余子式的乘积与行列式中的项的关系。

答：n 阶行列式的任一个 k 阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式中的 一项，而且符号一致。

33. 行列式按k 行展开如何展开？【知识点】：行列式展开的拉普拉斯定理。

答：在行列式中任取 k 行，由这k 行元素组成的所有的 k 阶子式与它们的代数余子式的 乘积之和等于行列式。

为子式所在的行和列。

12 6 -2-2 3 7 15 0 -1 3例如： 0 4 -58的子式的代数余子式是-2 1O 834. 行列式按一行（列）展开如何展开？【知识点】：行列式按一行（列）展开的公式。

答：行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的代数余子式的乘积之和。

35. 行列式的某一行（列）的所有元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于多少？【知识点】：行列式的重要性质。

答：等于0。

36. 范德蒙行列式有什么特点？怎么计算？【知识点】：范德蒙行列式。

答：范德蒙行列式第一行全为 1,第三行以后依次是第二行的元素 2, 3, , , n-1次幕.范 德蒙行列式等于第二行的后一列元素与前各列元素的所有37. 克拉默法则能解决什么样的线性方程组的问题？【知识点】 ：克拉默法则。

38. 克拉默法则中，方程组的解的公式是怎样计算的？【知识点】：克拉默法则。

答:第i 个未知量的解等于 D i /D ,其中D i 是系数行列式D 中的第i 列换成自由项所得到 的行列式。

39. 行列式的计算有哪些常用的方法？【知识点】 ：行列式的计算方法。

答：利用行列式的性质将行列式化为上（或下）三角行列式；利用行列式的性质将行列 式的某一行（或列）变成只有一个元素非零，再按该行（或列）展开，依照此法做下去,直到2或3阶行列式；根据行列式的形状找出递推关系，由递推关系来计算出行列式。

第二章矩阵1. 矩阵是否表示一个数？【知识点】：矩阵的概念。

答：矩阵是一个由数排成的数表，不是数。

2. 有哪些矩阵表示法？【知识点】：矩阵表示法。

答：用大写的英文字母A,B,…，或A ∏×n , （a ij ） m×n , （a ij ）。

11 1 ΛX 2Λ √ X ；Λ M M MΛ-l—一1ΛX 2 X 3答：方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组,且方程组的系数行列式要求不为零。

差的乘积。

即3. 两个矩阵相等有什么条件？【知识点】：矩阵相等的概念。

答：矩阵的型相同，对应的元素相等。

4.矩阵在什么情况下叫方阵？【知识点】：方阵的概念。

答：矩阵的行数与列数相等。

5.1阶方阵是什么？【知识点】：1阶方阵。

答：1行1列的矩阵。

6.上三角矩阵有什么特点？【知识点】：上三角矩阵。

14 9"0 2 5答：上三角矩阵是方阵，且主对角线以下的元素都为0的方阵。