目录中文摘要 (2)外文摘要 (3)引言 (4)1.求极限的相关技巧与方法 (4)1.1 利用极限的四则运算法则求极限 (4)1.2 利用函数的连续性求极限 (5)1.3 利用无穷小的性质求极限 (6)1.4 利用等价无穷小的代换求极限 (6)1.5 利用两个重要极限求极限 (7)1.6 利用两个极限存在准则求极限 (9)1.7 利用L'Hospital法则求极限 (10)1.8 利用泰勒展式求极限 (11)1.9 利用积分求极限 (13)1.10 利用Lagrange中值定理求极限 (14)1.11 利用微分中值定理来求极限 (15)1.12 用Stolz法求极限 (16)1.13 用代数函数方法求极限 (17)2.多种极限方法的综合运用 (19)参考文献 (22)致谢 (23)浅谈求极限的方法与技巧陶习满指导老师：胡玲（黄山学院数学系，黄山，安徽 245041）摘要：极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究分析方法的重要理论基础，但极限定义并未直接提供如何去求极限。
然而求极限的方法很多，本文总结几种常用的求极限的方法。
关键词：极限；技巧；方法。
Of Getting The Methods And TechniquesLimitTao XimanDirector : Hu Ling(The mathematics department of huangshan university,Huangshan,Anhui,245041)Abstract：The concept of limit of higher mathematics is the most important and one of the most basic concepts,the definition does not tell us how to seek limits.There are a lot of methods to get limits, This paper summarizes several common ways to limit demand for reference.Key Words: Limit; skills; method.引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。
掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。
因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。
然而求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
1.求极限的相关技巧与方法 1.1 利用极限的四则运算法则求极限定理：若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(1)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(2)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(3)若 0≠B ,则BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（4）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之;不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之，而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换、分子分母有理化等等。
例1 求2lim →x 352-+x x解 2lim →x 352-+x x =732323lim lim 5lim lim 222222-=-+=-+→→→→x x x x x x例2 求)13(lim 22x x x x x +-++∞→解)13(lim 22x x x x x +-++∞→=xx x x x x +++++∞→221312lim=xx x xx 1113112lim2+++++∞→=21.2 利用函数的连续性求极限)()](lim [))((lim )()(lim )]([)()()(lim )()(000a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→ϕϕϕϕ则处连续，在且是复合函数，又若处连续，则在若因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且0x x =是)(x f 的定义区间内的点,则).()(lim 0x f x f ox n =→例1 求612arcsinlim 1+→x x 解 因为复合函数612arcsin+x 是初等函数，而1是其定义区间内的点，极限值就等于该点处的函数值。
因此6π21arcsin 6112arcsin 612arcsin==+⨯=+x 例2 求下列函数的极限)1ln(15cos lim )1(20x x x e x x -+++→ xx x )1ln(lim)2(0+→()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15cos lim )1ln(15cos )(0)1(1010011202==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x xx x x x x x f x x x e x x x e x f x x x x x x xxx x x 故有：令由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。
属于初等函数由于解：ϕ1.3 利用无穷小的性质求极限定理：若自变量在同一变化过程中（0x x →或∞→x ）(1）如果已知数)(x f 为无穷大量则)(1x f 为无穷小量。
(2)如果已知数)(x f 为无穷小量且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大量。
因为有界量与无穷小的乘积仍为无穷小;有限个无穷小的和仍为无穷小;在自变量的同一变化过程中无穷大量的倒数为无穷小，利用这些性质可以使我们的计算得以简化。
例1 xx x 1sinlim 20→ 解 因为当0→x 时，2x 是无穷小，而1|1sin |≤x ，所以01sin lim 20=→xx x例2 4532lim21+--→x x x x解 因为分母的极限04151)45(lim 221=+⨯-=+-→x x x ，不能应用商的极限的运算法则，但因03124151lim 3245lim2121=-⨯+⨯-=-+-→→x x x x x ，故∞=+--→4532lim 21x x x x 1.4 利用等价无穷小的代换求极限定理：若自变量在同一变化过程中αβαβαβββαα''=''''lim lim lim~~存在，则且、 利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。
还应该熟悉一些常用的等价无穷小，如当0=x 时有如下等价无穷小：,2~cos 1),1ln(~,1~,arctan ~tan ~,arcsin ~sin ~2x x x x x x x x x x x x e-+-x x αα~1)1(-+等等。
例1 求 )1ln()1(cos 1lim0x e xx x +--→解 因为当0→x 时有，)1ln(~,1~,2~cos 12x x e x x x x +--，所以)1ln()1(cos 1lim 0x e x x x +--→=212lim 20=⋅→x x x x例2 求302sin sin 2limx xx x -→解 11lim )cos 1(2sin lim 2sin sin 2lim2202030=⨯=-=-→→→xx x x x x x x x x x x 错误的解法是：302sin sin 2limx x x x -→=022lim 30=-→xxx x 错在对加减中的某一项进行了等价无穷小代换。
例3 求)12(lim+-+∞→x x x x解 xx x x x 11211)12(+++=+-+2111211lim)12(lim =+++=+-+∴∞→∞→xx x x x x x1.5 利用两个重要极限求极限1sin lim)(0=→x x A x e xB x x =+∞→)11(lim )(变形：))((,))(11lim()()0)((,1)()(sin lim)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ϕϕϕϕϕϕ在此即利用① 1sin lim 0=→x x x ， ②e x x x =+→10)1(lim 和e xx x =+∞→)11(lim ，其中的x 都可以看作整体来对待。
其中第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“∞1”型，在“0”型中满足“外大内小，内外互倒”。
在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或它们的变形，这就要抓住它们的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形。
例1 求20cos 1limx xx -→解 20cos 1limx xx -→=21)2(2sin 21lim 2sin 2lim220220==→→x xx x x x例2 求xa x x 1lim 0-→解 )1ln(ln 1 ln )1ln( ,1u au x a a u x u a x x+=-+==-于是则令 a u auu a u a u xa u x uu u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 010000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当例3 求xx xx 10)121(lim +-→解 为了利用极限e x xx =+→10)1(lim ，故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。