示结构基元在空间的分布，无物质内容。 • 如将空间点阵中各点阵点换上具体内容 --
结构基元(原子、离子、分子、基团等），即 得到具体的晶体结构。 • 换言之：晶体结构 = 空间点阵 + 结构基 元
点阵划分为晶格可
以有不同的方法。
布拉维（Bravais）规则
•1.所选择的平行六面体的特性应符合整个空间点阵的 特征，并应具有尽可能多的相等棱和相等角。
1 1 = 2 d hkl (1 2 cos a cos b cos g cos 2 a cos 2 b cos 2 g ) h 2 sin 2 a k 2 sin 2 b l 2 sin 2 g 2hk [ (cos a cos b cos g ) 2 2 2 a b c ab 2kl 2hl (cos b cos g cos a ) (cos g cos a cos b )] bc ac
正方 (四方) 斜方
a=b≠ c α=β=γ=90º a = b= c α=β=γ≠ 90º
简单晶胞：晶胞内仅含1个结点；复杂晶胞：晶胞内含1个以上结点。
7个晶系及其所属的布拉菲点阵（续)
晶系
菱方( 三方) 六方
点阵常数
a=b=c α=β=γ ≠ 90º a=b≠ c α=β=90º γ=120º
正方晶系
Tetragonal
Simple c a c a
Body -centered
a
a
10
a = b c, a = b = g = 90
11
立方晶系
(Cubic system)
a a a
a
a
a Body -centered
a
a
a
Simple
Face –centered
12
13
a = b = c, a = b = g = 90
2
c
a
c
a
3
a
Simple b
a
b Base-centered
a b c, b = g = 90 a
斜方晶系
Orthorhombic
c
c
b Simple
a
b
a
Base-centered Body –centered Face -centered
4
5
6
7
a b c, a = b = g = 90
晶面指数的确定
1) 确定平面与三个坐标轴上的交点。平面不能通过原点。如
果平面通过原点，应移动原点； 2) 在一组晶面中任选一个,量与坐标轴的截距； 3) 取截距－交点坐标的倒数（所以平面不能通过原点）， 如果平面与某一坐标轴平行，则交点为，倒数为零。 4) 消除分数，但不化简为最小整数。负数用上划线表示。
B： 第一步：确定交点的坐标： x 轴：1, y 轴：2/3, z 轴：2/3 第二步：取倒数：1，3/2，3/2 第三步：消除分数： 1 2 = 2 3/2 2 = 3 3/2 2 = 3 第四步：加圆括号，不加逗号， 得到：(233)
A
1,0,0
0,1,0
常见晶面的Miller指数
(312)
布拉菲 点阵
简单立方 体心立方 面心立方 简单正方 体心正方 简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方
点 阵 晶格内 符号 结点数
P I F P I P I C F 1 2 4 1 2 1 2 2 4
结点坐标
000 000,1/2 1/2 1/2 000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2 000 000,1/2 1/2 1/2 000 000,1/2 1/2 1/2 000,1/2 1/2 0 000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2
第二章 X射线衍射方向
第一节 晶体几何学基础
一、空间点阵
晶体：物质点（原子、离子、分子）在 空间周期排列构成固体物质。 空间点阵：上述几何点在空间 的分布，每个点称为阵点。 结构基元：在晶体中重复出现的 基本单元；在三维空间周期排列； 为简便,可抽象为几何点
(a)
(b)
(c)
空间点阵
晶胞
ห้องสมุดไป่ตู้ •
空间点阵仅是晶体结构的几何抽象，只表
斜方
单斜 三斜 菱方 六方
a = b = c, a = b = g 90 a = b c, a = b = 90, g = 120
二、晶体结构
• 阵点的具体化 • 单质金属元素的晶体结构是最简单的结构形态： 原子－阵点 • f.c.c. 银 铝 金 铂 铜 镍 铅 • b.c.c. 铬 钾 钠 钨 钼 钽 铌 钒 a铁 b钛 • h.c.p. 镁 锌 a铍 a钛 a钴 a锆 铼 • 菱方 铋 锑 汞 • 正方 铟 • 斜方 镓
晶面指数通常用（hkl）表示。
例
1 0,0, 3
B
0,0,1
0,0, 2 3 1 0, ,0 0, 2 ,0 2 3
A： 第一步：确定交点的坐标： x 轴：1, y 轴：1/2, z 轴：1/3 第二步：取倒数：1，2，3 第三步：消除分数。因无分数， 直接进入下一步。 第四步：加圆括号，不加逗号， 得到：(123)
•2.平行六面体中各棱之间应有尽可能多的直角关系。
•3.在满足1,2时,平行六面体的体积应最小。
根据上述原则，证明仅存在14种不同的晶格（或点阵）， 称做布拉维点阵，按对称性可分为7个晶系。
三斜晶系 triclinic
1
c
b
a g b a
a b c, a b g 90
单斜晶系 monoclinic
(211)
常见晶面的Miller指数
(110) (001) (100) (001)
(111)
a/2
a/4
原点
(100) (400) (200)
原点
440 220 110
对晶面指数的说明：
1. h,k,l三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2. 其中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行， 例如(hk0)晶面平行于c轴；(h00)平行于b,c轴。 3. (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的 晶面。 4. 晶面指数不允许有公约数，即hkl三个数互质。 5. 若某晶面与晶轴相截在负方向，则相应指数上加 一横。
晶向指数练习
四、晶带、 晶面间距与晶面夹角
• 晶带－ • 晶带轴－ • 晶带定律－ • 晶面间距－ • 晶面夹角－参附录13
晶面与 晶带
晶面间距的计算
正交（斜方）
1 h2 k 2 l 2 = 2 2 2 2 d hkl a b c
单斜
三斜
1 h2 k2 l2 2hl cos b = 2 d hkl a 2 sin 2 b b 2 c 2 sin 2 b ac sin 2 b
七个晶系的基矢
a a a Cubic c a a c c a Tetragonal b a c
b
a a a
a
a
a
a
120
a
a Trigonal
Hexagonal
a
b a g
b
a
Orthorhombic
Monoclinic
Triclinic
7个晶系及其所属的布拉菲点阵
晶系
立方
点阵常数
a=b=c α=β=γ=90º
三、 晶面与晶向
• 1. 晶面－在空间点阵中可以作出相互平行且间距相 等的一组平面，使所有结点均位于这组平面上，各 平面结点分布情况也完全相同。
意义－不同晶面的差别在于不同取向。
（注意：晶面非实在的平面，故衍射时多组晶面同时产生 衍射现象）
• 2. 晶向－在空间点阵中任意方向上连接两个以上结 点，构成相互平行的结点直线，这些直线上结点排 列规律相同。
a ≠ b≠ c α= γ = 90º ≠ β a ≠ b≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
布拉菲 点阵
简单菱方 简单六方
点 阵 晶格内 符号 结点数
R P 1 1
结点坐标
000 000
单斜 三斜
简单单斜 底心单斜 简单三斜
P C P
1 2 1
000 000,1/2 1/2 0 000
14
六方晶系 Hexagonal
菱方晶系 Rhombohedral
a a
8
c
a
a a
9
a a = b c, a = b = 90, g = 120
a = b = c, a = b = g 90
七个晶系的晶格参数
立方 正方 a = b = c, a = b = g = 90 a = b c, a = b = g = 90 a b c, a = b = g = 90 a b c, b = g = 90 a a b c, a b g 90
晶面与晶面间距
X 射 线 管
劳 厄 斑 点
铅 屏
晶体
底 片
晶体可看作三维 立体光栅 根据劳厄斑点的 分布可算出晶面间距 掌握晶体点阵结构
三、 晶面与晶向
3. 晶面指数：（hkl） －影响衍射斑点或条纹位置 4. 晶面族－影响衍射斑点或条纹强度
5. 晶向指数 [uvw]－<uvw>
找一条过原点的直线； 在该线上找距原点最小距离的结点，取其坐标值； 去分母，加[ ] 。
晶面夹角(其法线间的夹角）的计算
很复杂，对于等轴晶体， 有： cosΦ=(h1h2+k1k2+l1l2)/[(h12+k12+l12) (h22+k22+l22)]1/2 对于四方晶体， 有： cosΦ=c2(h1h2+k1k2)+a2l1l2/[[c2(h12+k12)+a2l12] c2(h22+k22)+a2l22)]]1/2