从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
1）若AB且BA，则甲是乙的 充分非必要条件
2）若A B且B A，则甲是乙的 必要非充分条件
1)
B
A
2) A
B
3）若A B且B A，则甲是乙的 既不充分也不必要条件
4）若A=B ，则甲是乙的
充分且必要条件
A
B
A =B
3)
4)
小结 充分必要条件的判断方法：


练习、判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
（3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的
q是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2。
pq
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
(3) 若a>b，则ac>bc。
显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的
充要条件.概括地说,如果 p q ,那么 p 与 q 互为充要 条件.
注:1.“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 与 q 等价” 、 “ p 当且仅当 q ”等.
2.充要条件是非常好的一种条件,因为可以相互等 价转化.
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
3、只要有p是q的充分条件就必有q是p的必要条件，但 不是p为q的必要条件。
简化定义：
如果已知p q，则说p是q的充分
条件， q是p的必要条件。
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题
中的p是q的充分条件？
pq
（1）若x=1，则x2 –4x+3=0；
（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；
⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p 就可推出 q ;
⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .
如何正确理解p是q的充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成
立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此
要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成
立的充分条件。
pq
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不 成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使 p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要 条件。
高中选修《数学2-1》（新人教A版）
1.2.1充分条件与 必要条件
一、复习引入
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系：
原命题
互逆
若p则q
逆命题 若q则p
互否
互为 逆否 互 否
否命题 若 p则 q 互逆
逆否命题 若 q则 p
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
（4）ac=bc
a=b
两直线平行； a的个位数字为偶数；
一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q .
这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p q .
并且说 p 是 q 的充分条件,说 q 是 p 的必要条件.
注: 这里充分、必要的意义和日常生活中的 “充分”、“必要”的意义是相近的.
思考:“若 p , 则 q ”的原命题与逆命题均是真命题, p 是 q 的什么条件? q 是 p 的什么条件? p q 且 p q
如果“若 p , 则 q ”是真命题,且它的逆命题也
是真命题即 p q 且 p q , 我们就说, p 是 q
的充分必要条件,简称充要条件.记为 p q .
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2019/7/9
归纳
定义1：如果已知p q，则说p是q的充分条件。 定义2：如果已知q p，则说p是q的必要条件。 定义3：如果既有p q，又有q p， 就记作 p q，则说p是q的充要条件。
2、从集合角度理解：
口诀:对于具体的数集,以条件集 合为基础,小充分,大必要
一、复习引入
3、例 :判断下列命题的真假。
（1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 真命题
（2）若ab=0,则a=0。
假命题
二、新课
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p p）。
2、如果命题“若p则q”为假，则记作p
q（或q
q。
练习1 用符号
与 填空。
（1） x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
（3）整数a能被6整除
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
思考:“若 p , 则 q ”的逆命题成立, p 是 q 的什么条件?
p 是 q 的必要条件.
就是说:由 p q 可知 p 是 q 的必要条件， q 是 p 的充分条件.
通俗地说,就是“ p 被 q 推出”判断为 “ p 是 q 必要条件”.
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
例4．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
既不充分也不必要
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶
函数;
p q.
(2)P: x>0,y>0, q: xy>0;
(3)P: a>b, q: a+c>b+c.
解：在(1)(3)中，p q, 所以(1)(3)中的p是q 的充要条件。在(2)中，q p，所以(2)中p的
不是q的充要条件。
① p q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q ② q p，相当于Q P ，即 Q P 或 P、Q
有它就行 缺它不行
③ p q，相当于P=Q ，即条件的可能情况
1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1）A B且B A，则A是B的 充分非必要条件
2）若A B且B A，则A是B的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则A是B的 既不充分也不必要条件 4）A B且B A，则A是B的 充分且必要条件