D
D
S
0
y D
d dxdy
D D
x
kdxdy kSD1(3).设f ( x , y ), g ( x , y )在有界闭区域D上可积，则对任何
实数 , , f ( x , y ) g ( x , y )在D上可积，且
f ( x , y ) g( x , y ) dxdy
i 1
(2). 积分值(极限值)与区域D的分法及( xi, yi )的取法 无关.
(3).二重积分是个数，与积分变量用什么字母无关
f ( x, y)d f (u, v)d
D D
(4).二重积分的几何意义
设 z=f( x, y ) 在 D上可积, 则
(i) 当z=f (x, y)0时,
D
f ( x , y )dxdy g ( x , y )dxdy
D D
这个性质称二重积分的线性性质。
(4).二重积分对积分区域具有可加性.
设f ( x , y )在有界闭区域D上可积，若闭区域D分成 两个区域D1 , D2 , 且除边界点外，D1 , D2无公共内点，则f ( x , y ) 在D1 , D2上可积;反之，若f ( x , y )在D1 , D2上都可积，则f ( x , y )
步骤如下：
⑴.分割：曲顶柱体的底
z
z f ( x, y)
⑵.近似替换：用小长方 体体积近似替换小曲顶 柱体体积。 ⑶.求和
⑷.取极限
x
n
o
D

y
(i ,i )
i
V
lim f (i ,i ) i
0
i 1
V lim f ( i , i ) i .
0
于是 d = dx dy 故也将二重积分写成 Di
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D D
D
2.二重积分的性质
(1). 二元函数可积性
f( x, y )有界
f( x, y )可积 f( x, y )在有界闭 区域D连续
(2).若区域D的面积为，则
z 1dxdy O 0dxdy
(ii) 当z= f (x, y)<0时,
f ( x, y)d
D D
V
f ( x, y)d -V
(iii) 若z=f( x, y )在D内有正有负时
f ( x, y)d 曲顶柱体体积的代数和
D
(5).若将D用平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)
则除边界上区域外, Di的面积i = xi yi,
D
(6).(二重积分中值定理 )设f ( x , y )在有界闭区域D上
连续, 则存在一点( , ) D, 使得
f ( x, y )dxdy f ( , )
D
其中 为区域D的面积。
f ( x , y )d 称为函数f ( x , y )在区域D上的平均值。
D
1
lim f ( xi , yi ) i .
d 0 i 1
n
存在，则称此极限值为函数f (x, y)在区域D上的二重积分， 记为

D
f ( x, y)d
f ( x, y )d
D
lim f ( i , i ) i
0 i 1
n
.
积 分 区 域
被 积 函 数
( x, y ) D
则
f ( x, y )dxdy g( x, y )dxdy
D D
推论：① 若f ( x, y)在有界闭区域D上可积, 且 f ( x, y ) 0 ( f ( x, y ) 0), ( x, y ) D
则
f ( x, y )dxdy 0 ( f ( x, y)dxdy 0)
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
积 分 和
对二重积分定义的说明：
(1). 二重积分是定积分的推广
定积分：
二重积分：

D
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
0
i 1
n 0 i i i
n
f ( , ) f ( x, y)d lim
§7.7 二重积分
一. 二重积分的定义和性质 二. 二重积分的计算
一. 二重积分的定义和性质
回忆一元函数定积分的定义： 求曲边梯形面积。
y y = f ( x)
f ( i) 1.分割 2.近似计算 3.求和 4.取极限
lim f (i ) xi
0 i 1
n
0
a
xi i xi+1
i 1
n


D
f ( x, y) d
二重积分定义
设二元函数z=f (x, y)定义在有界闭区域D上，将D任意分割 n个无公共内点的小区域Di (i=1, 2, …, n), 并以i和di分别 表示第i个小区域的面积和直径，d=max{d1,d2, …,dn}. 在每个小区域上任取一点(xi, yi)，当d 0时，如果极限
在D上可积，且有
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d
D D1 D2
即二重积分对积分区域具有可加性.
D2
D1 D
(5).若函数f ( x , y ), g ( x , y )在有界闭区域D上可积, 且
f ( x , y ) g( x , y )
b
x
f ( x)dx
a
b
1.二重积分的定义 求曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f ( x, y)
D
底面：xOy 面上的区域D 侧面：柱面 顶面：曲面 z= f (x, y)0 称为曲顶柱体. 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似计算 、求和、取极限”的微元法
D D
② 若f ( x , y )在有界闭区域D上可积, 则 f ( x , y ) 在D上可积且
f ( x , y )dxdy
D D
f ( x , y ) dxdy
③ 若f ( x, y)在有界闭区域D上可积, 且有最大值M 和最小值m,
为D的面积, 则
m f ( x , y )dxdy M