2n
共2n 2个方程，可求出2n 2个系数a0 , a1 ,..., a2n , a2n1 .
数值分析
数值分析
Hermite插值多项式的构造
( 2) Lagrange型插值基函数法 设Hermite插值多项式为 H 2 n1 ( x ) hi ( x ) yi hi ( x ) y 'i
' i
a 2li' ( xi ) 解出 ' b 1 2 x l i i ( xi )
hi ( x ) (1 2( x xi )li' ( xi )) l i2 ( xi ) ( i 0,1, 2, n) n n x xj 1 ' 其中 li ( x ) ( ), l i ( xi ) ( ) xi x j xi x j j0 j0 所以
2
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
不完全导数条件的Hermite插值
例：试构造一个不高于4次的Hermite插值多项式 H 4 ( x ), 使其满足条件 H 4 (0) 0,
' H4 (0) 0,
H 4 (1) 1,
' H4 (1) 1,
H 4ห้องสมุดไป่ตู้(2) 1,
解：用Lagrange插值基函数法构造H 4 ( x ), 设
hi ( x )应满足条件： (1) hi ( x )应是 2n 1次多项式； i j 1 (2) hi ( x j ) ij i j 0 h 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n) hi ( x )应满足条件： (1)hi ( x )应是 2n 1次多项式； i j 1 (2)h 'i ( x j ) ij i j 0 hi ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n )
数值分析
数值分析
由条件(2)可列出方程组 2 h ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' h ( x ) ali ( xi ) 2(axi b )l i ( xi )l i ( xi ) 0 i i
li ( xi ) 1, axi b 1, a 2l ( xi ) 0
2 i
c 1
h i ( x ) ( x x i )l ( x )
代入hi ( x )和hi ( x )经整理得到 H 2 n1 ( x ) [(1 2( x xi )l 'i ( xi ) yi ) ( x xi ) y 'i ]li2 ( x )
i 0
数值分析
R3 ( x ) 4!
( x x )
i 1 i
1 R3 ( x ) max f（4）( ) max x1 x x2 4! x1 x x2 1 h max f（4）( ) 4! 2 x1 x x2 其中h x2 x1
4
2 ( x x ) i i 1
n
数值分析
Hermite插值误差分析
定理 设f ( x ) C [a , b]，且在（a , b）上存在 2n 2次导数，对于n 1个互异节点上的Hermite插值 函数，有如下误差估计式 f (2 n 2) ( ) n 2 R2 n1 ( x ) f ( x ) H 2 n1 ( x ) ( x x ) i (2n 2)! i 0 其中 是介于x0 , x1 , , xn中最小数和最大数之间。
证明：因R2 n1 ( x )有n 1个零点x0 , x1 , R2 n1 ( x ) K （x） ( x x0 )2 ( x x1 )2 构造以t为参变量的辅助函数F ( t )
, xn，故设
( x xn )2
数值分析
F ( t ) f ( t ) H 2 n1 (t ) K ( x ) ( t xi )
n
, f ( m0 ) ( x 0 ) , f ( m1 ) ( x1 ) , f ( mn ) ( x n )
, n)是正整数。
i 1
以上总共有N n 1 mi 个插值条件，要求构 造不低于N 1次插值函数H （x）满足以上插值条件。
数值分析
数值分析
例 求一个四次插值多项式 H （x），使 x 0 时，H （0） 1，H（ ' 0） 2； '' x 1 时，H （1） 0，H（ ' 1） 10，H（ 1） 40
i 0
数值分析
n
2
F ( t )关于t 有n 2个零点：x0，x1， ，xn，x 。 但F ' ( t )关于t 有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理 必存在点 （a , b），使 F
（2 n 2）
( ) f
（2 n 2）
( ) 0 K ( x )(2n 2)! 0
n
x xj
xi x j
)
设
hi ( x ) (ax b)l 2 i ( x )
由条件(2)可列出方程组 2 h ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' h ( x ) al ( x ) 2( ax b ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 0
数值分析
代入后得到 x x1 x x2 2 x x2 2 h1 ( x ) （1 2 ）（ ） ，h1 ( x ) （x x1）（ ） x2 x1 x1 x2 x1 x2 x x2 x x1 2 x x1 2 h2 ( x ) （1 2 ）（ ） ，h2 ( x ) （x x2）（ ） x1 x2 x2 x1 x2 x1 f（4） ( ) 2 2
i 0 i 0 n n
使其满足插值条件 H 2 n 1 ( x i ) yi H '2 n1 ( xi ) y 'i
i 0， 1， 2， n
数值分析
数值分析
H 2 n1 ( x j ) hi ( x j ) yi hi ( x j ) y 'i y j H '2 n1 ( x j ) h 'i ( x j ) yi h 'i ( x j ) y 'i y ' j
数值分析
第四节 带导数条件的Hermite插值

假设函数y=f(x)是 在[a,b]上有一定光滑性的函数, 在[a,b] 上有n+1个互异点xo…xn, f(x)在这些点上取值 yo…...yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满 足p(xi)=yi i=0,1,…,n.这是最简单的插值问题,如果除 了知道f(x)在插值节点上的取值外,还知道f(x)在插值 节点xi上的 1≤mi≤n阶导数，如何来构造插值函数呢? Hermite插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又 满足微商条件的插值函数。
Hermite插值中，最基本而重要的情形是只要求 一阶导数的条件。给出n 1个互异节点x0 , x1 , xn上 的函数值和导数值 yi f ( xi )和y 'i f '( xi ) ( i 0,1, 2, , n) 构造不低于2n 1次插值多项式H 2 n 1 ( x )，要求满足 插值条件 H 2 n 1 ( x i ) yi i 0， 1， 2， n H '2 n1 ( xi ) y 'i
数值分析
数值分析
Hermite插值多项式的构造
(1) 待定系数法 设H 2 n 1 ( x ) a 2 n 1 x 由插值条件
H 2 n 1 ( x i ) yi H '2 n1 ( xi ) y'i i 0， 1， 2， n
2 n1
a2 n x ... a1 x a0
i 0 i 0 i 0 n i 0 n
n
n
数值分析
数值分析
利用Lagrange插值基函数li ( x ) (
j 0 ( ji )
1.构造hi ( x )( i 0,1, 2, , n) hi ( x )应满足条件： (1)hi ( x )应是 2n 1次多项式； 1 i j (2)hi ( x j ) ij i j 0 h 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
设
hi ( x) (cx d )l 2i ( x)
由条件(2)可列出方程组 2 hi ( xi ) (cxi d )li ( xi ) 0 2 ' h 'i ( xi ) cli ( xi ) 2(cxi d )li ( xi )l i ( xi ) 1
( ji ) ( ji )
数值分析
数值分析
2.构造 hi ( x ),( i 0,1, 2, , n) hi ( x )应满足条件： (1)hi ( x )应是2n 1次多项式； 1 i j (2)h 'i ( x j ) ij i j 0 hi ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
数值分析
数值分析
由条件(2)可列出方程组 2 h ( x ) ( cx d ) l i i i i ( xi ) 0 2 ' h ' ( x ) cl ( x ) 2( cx d ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 1
li ( xi ) 1, cxi d 0, c 1 解出 d xi 于是求出