数列找规律
【例1】
一块白白的豆腐，帅帅“咣咣咣···咔咔咔”切了六刀，最多能切成多少块？
【例2】
有一个国家的钱币仅有六元和七元两种，在这个国家里人们买东西时会出现找不开钱的情况。
⑴出现这种情况的价格共有多少种？
⑵其中最贵的价格是多少元？
【例3】
“不好吃”肉串店老板送给帅帅十张优惠券(从1到10分各1张)。
在一个风雨交加的下午，帅帅拿着优惠券喜滋滋的去吃肉串了，结果看见了老板在店门口给帅帅留了一个牌子：
【例4】
下列⑴~(20)的二十个加法算式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。
组合专题：超难组合数学㈠
1．一棱柱以五边形A1A2A3A4A5与B1B2B3B4B5为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一条线段A i B j(i，j＝1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色。
若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。
证明上、下底10条边颜色一定相同。
2．设在空间给出20个点，其中某些点涂黄色，其余点涂红色。
已知在任何一个平面上同色点不超过3个。
求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含异色点。
3．某一天有若干读者去过图书馆。
他们是单独去的，但是在任何三个读者中，至少有两个人这天在图书馆相遇。
证明：一定可以找到这样两个时刻，使得在这一天到过图书馆的任何一个读者，至少在这两个时刻中的一个时刻是在图书馆的。
4．每一个参加循环赛的人和其余参加比赛的人都要比赛一次。
已知任何一次比赛都没有出现平局。
证明：可以找到这样的运动员，其他人或被他战胜，或被他胜过的人战胜。
测试题
1．一棱柱以四边形F1I1H1G1与K1L1J1E1为下、上底，这两个多边形的每一条边及每一条线段(所有连接顶点的线段)分别涂上红色或绿色。
若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。
证明上、下底8条边颜色一定相同。
答案及解析
证明：
先证明上底下底分别同色
假如底边有不同色线段，那么假设F1I1为红F1G1为绿，由F1点连三条线段分别为F1E1,F1J1，F1L1，三条线段中必然有两条颜色相同，假设F1J1，F1L1都为红色，那么三角形L1I1J1为全绿三角形，矛盾，假设F1J1，F1L1都为都为绿色，那么三角形G1L1J1为全红三角形，矛盾，所以下底边颜色全部相同。
类似可得上底边颜色全部相同。
再来证明上底下底有同色边，
假设上底边为红，下底边为绿，然后类似的F1E1,F1J1，F1L1必然有两条同色，假设F1J1，F1L1都为都为绿色，那么三角形G1L1J1为全红三角形，矛盾，假设E1F1，L1F1为红，那么三角形G1J1I1为全红三角形，矛盾。
所以上下8条边颜色相同。
几何专题：综合型
【例1】
如图，四边形PQRS与长方形ABCD的内侧相接，AP＝4厘米，AS＝2厘米，QC＝7厘米，RC＝3厘米，∠SPQ＝90°，∠QRS＝45°。
请求出四边形PQRS的面积。
【例2】
如图所示，下午6:30在北方的上空有北极星N和组成等腰直角三角形的三颗星A、B、C(N 的左方是B，B的上方是C，C的左方是A，NB＝BC＝CA)。
数小时后，星A和星B同时沉入地平线下。
后来，星C也沉下去了。
如果星A、B、C逆时针绕北极星一周需24小时，请问：星C沉下去的时刻是几点？(地平线是水平的直线)
【例3】
如图，在△ABC中，AB＝11厘米，AC＝9厘米。
首先，在BC边上，取点H，∠BHA＝90°；然后在BC边上，在H与C之间取点D，使∠BAD＝60°；这样，∠DAC是∠HAD的2倍。
请问：这时线段BH的长度是线段CH的长
度的几倍？
【作业】
如图1，图中的三个四边形ABHG、CDIH和EFGI都是正方形，当其面积分别是10平方厘米、13平方厘米、29平方厘米时，请问：
⑴如图2，有16个边长为1厘米的正方形方格，在图中连结这些方格的顶点，画出四边形ABHG；
⑵请求出六边形ABCDEF的面积。
奇偶靠联想
【例1】
三个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数。
【例2】
已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。
【例3】
请问多位数nnn n会不会是一个完全平方数？说明理由。
【例4】
如果n个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”，
⑴证明，n的最大值为4。
⑵当n＝4时，求4个质数的乘积的最小值。
测试题
1．在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；
再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数。
请证明这两个11位数的和至少有一位数字是偶数。
2．甲、乙两人将正整数5至11分别写在7张卡片上。
他们将卡片背面朝上，任意混合后，甲取走3张，乙取走2张，剩下的2张卡片他们谁也没看。
甲看了手里的3张卡片后对乙说“你的2张卡片上的数之和是偶数”。
试问：甲手里的是哪三个数？答案是否唯一？
答案：
1．【分析】如果在求和时发生进位现象，那么考虑从右往左数的第一次进位，由于是第一次进位，所以这一个数位上没有进位过来的，那么这只有这一个数位上的两个数字
都是5时才有可能成立，而这一位向上一位进1后，所得的和的这一位上的数字
是0，是个偶数。
也就是说如果发生进位，那么所得的和至少有一个数字是偶数；
如果这两个11位数在求和时不发生进位现象，由于没有进位，那么每一位上的
两个数字相加就得到和数的一个数字，于是这两个11位数的各位数字之和的和
就等于这两个11位数的和的各位数字之和，而前者是两个相同的数相加，是个
偶数；后者是11个数相加，那么其中必有偶数(否则，11个奇数相加，仍是奇数)，
所以不发生进位时仍然至少有一位数字是偶数。
2．【分析】甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中。
因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和是偶数时，甲才能说出自
己的断言．而这就意味着这4 张卡片上的数的奇偶性相同，即或者都是偶数，或
者都是奇数。
但由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，
只能是奇数。
所以3张写着偶数的卡片全部在甲的手里。
穷举用技巧
【例1】
N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。
N的最大值是。
【例2】
如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。
比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。
问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。
【例3】
黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。
如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。
⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
【例4】
如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
测试题
【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。
【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
答案： 【例1】【分析】
由于30235=⨯⨯，从质数的观点看整除，如果自然数N 能被30整除，那么自然数N 至少含有三个质因数2，3，5。
设：312235r r r N =⨯⨯⨯。
自然数N 恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：12311130235r r r +⨯+⨯+⨯==⨯⨯（）（）（）。
注意到235⨯⨯是三个约数之积，由此可知自然数N 中质因数的个数恰好有3个。
因此
123111235r r r +⨯+⨯+=⨯⨯（）（）（），由此可知123r r r （，，）必是124（， ， ）的一个排列。
综上所述，所求的自然数有：24235⨯⨯，42235⨯⨯，24235⨯⨯，42235⨯⨯，
42235⨯⨯，24235⨯⨯。
【例2】【分析】
6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质
数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：
222222222222222232527211213217219223832353731145253272
1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种种
种种
所以符合条件的自然数一共有1842116++++=(种)。