第二章油气渗流的数学模型
内容概要：
油气渗流力学是以实验为基础、以数学为手段解决油气在地下流动问题的学科，因此，应用渗流力学理论解决实际问题首先应在实验的基础上建立数学模型，然后求解，最后对解赋予一定的物理意义，从而得到实际问题的解。

本章将介绍渗流问题数学模型的建立过程，包括数学模型的基础、组成、建立的步骤；以达西定律、质量守恒原理为基础，推导油气渗流的运动方程、状态方程、连续性方程，给出几种典型渗流问题的综合微分方程，并介绍油气渗流的初边值条件。

第三节质量守恒方程
内容概要：
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。

本节应重点掌握质量守恒原理和单相渗流连续性方程的推导，了解两相渗流的连续性方程。

课程讲解：
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教材自学：
质量守恒方程
本节导学
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。

用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程，在稳定渗流时,单元体内质量应为常数。

本节将介绍单相、两相渗流的连续性方程。

本节重点
1、质量守恒定律★★★★★
2、单相渗流连续性方程的推导★★★★★
3、两相渗流的连续性方程★★★
一、单相渗流的连续性方程
在地层中取微小六面体单元，单元体中M 点质量速度在各坐标上分量为v x ρ、v y ρ、v z
ρ
单元立方体图
1.流入流出质量差
d t 时间经a'b'面流入的质量应为：
d t 时间经a"b"面流出的质量为：
六面体在d t 时间x 方向流入流出的质量差为：
同理，可求得沿y 方向、z 方向流入流出的质量差分别为：
dt 时间内六面体内流入与流出的总的质量差为：
2.单元体内质量变化
经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化)
六面体内的孔隙体积： ()2x x v dx v x ρρ∂-∂()2
y y v dy
v y ρρ∂-∂()2
z z v dz
v z ρρ∂-∂()2x x v dx v dydzdt x ρρ∂⎡⎤-⎢⎥∂⎣⎦()2x x v dx v dydzdt x ρρ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦()x v dxdydzdt x
ρ∂-∂dxdydzdt y v y ∂∂-)(ρdxdydzdt z v z ∂∂-)(ρ()()()y x z v v v dxdydzdt x
y z ρρρ∂⎡⎤∂∂-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦dxdydz φ
流体质量： 单位时间内流体质量变化率：
d t 时间流体质量总的变化为：
显然d t 时间内六面体总的质量变化应等于六面体在d t 时间内流入与流出的质量差，即： 或 上式可写成
上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒方程（连续性方程）。

如果是不可压缩流体(即ρ=常数)在刚性孔隙介质中流动(φ=常数)，则
连续性方程为：
物理意义是：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量与流出的质量相等。

它仍然是一个质量守恒方程式。

这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关，所以又称稳定渗流的连续性方程。

二、两相渗流的连续性方程
1．油水两相渗流的连续性方程
假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发生化学作用。

取一个单元六面体d x d y d z 可对油水两相分别写出质量守恒的连续性方程。

对油相来说，在d t 时间内单元六面体流出流入的质量差为
油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内油被水驱替所引起的结果。

若在t 时刻六面单元体内油的饱和度为So ，t +d t 时刻油的饱和度为
d t 时间内饱和度变化为 dxdydz ρφdxdydz t
∂∂)(ρφdxdydzdt t ∂∂)(ρφdxdydzdt t dxdydzdt z v y v x
v z y x ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-)()()()(ρφρρρt z v y v x
v z y x ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-)()()()(ρφρρρ0)()(=+∂∂v div t ρρφ()0t
ρφ∂=∂()0div v ρ=()()()o oy o ox o oz v v v dxdydzdt x
y z ρρρ∂⎡⎤∂∂-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦(1) o o S S dt t
∂+∂o S dt t ∂∂
饱和度变化引起的油相质量变化为
根据质量守恒定律，(1)、(2)式应该相等
可以写为
对水相来讲，同样可以得出：
2.油、气两相渗流的连续性方程
在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在d t 时间内流入流出的质量差为：
由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：
根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两相渗流时，油相的连续性方程：
对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dt 时间内这两部分气体流入流出单元体的质量差为： 自由气：
溶解气：
气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经d t 时间的质量变化为：
根据质量守恒定律，得
或 o o S dxdydzdt t
ρφ∂∂(2) oy ox oz o v v v S x y z t φ∂⎡⎤∂∂∂-++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
div()0o o S v t φ∂+=∂div()0w w S v t
φ∂+=∂[()]ogs gs o div v dxdydzdt ρρ--()ogs gs o S dxdydzdt t
ρρφ∂⎡⎤-⎣⎦∂()()0ogs gs o ogs gs o div v S t
ρρφρρ∂⎡⎤⎡⎤-+-=⎣⎦⎣⎦∂()g g div v dxdydzdt ρ-()gs o div v dxdydzdt
ρ-[()][(1)]gs o g g gs o o g S S dxdydzdt S S dxdydzdt t t ρρφφρρ∂∂+=+-∂∂[()()][(1)]g g gs o gs o o g div v div v dxdydzdt S S dxdydzdt t ρρφρρ∂-+=+-∂[()()][(1)]0g g gs o gs o g o div v div v S S t
ρρφρρ∂+++-=∂
例题分析：
1、在渗流力学中，质量守恒定律(又称连续性原理)是指 地层中任一微元体，若没有源汇，则包含在微元体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。

内容小结：
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。

用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程， 单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒方程写为: 油水两相渗流的质量守恒方程写为： 油相 水相 自测题：
1、在渗流中质量守恒原理如何叙述？
2、试推导微可压缩流体在弹性介质中渗流时的连续性方程。

3、试推导油水两相渗流时油、水相的连续性方程。

4、分析说明式0)()(=∂∂+t v div ρφρ 及t
t z y x G v div ∂∂=+)(),,,()(ρφρ 中各项的物理意义及两个公式的区别。

5、推导油、气、水三相同时渗流时的连续性方程。

包括：
1）气只溶于油中；
2）气可溶于油和水中。

0)()(=+∂∂v div t ρρφdiv()0o o S v t φ∂+=∂div()0w w S v t φ∂+=∂。