有一组邻 边相等
有一个角 是直角
有一个角是直角的菱形叫做正方形。 有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
(1)正方形是菱形吗？正方形具有哪些性质?
正方形是特殊的菱形，它具有平行四边形、矩形、
菱形的一切性质。
A
D
边：对边平行，四边都相等。
O
角：四个角都是直角
已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上. A
D
求证:BE=DE E
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
B
C
(正方形四条边都相等，每条对角线平分一组对角）
在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一 个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
只要保证剪口线与折痕成45°角即可
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有 什么关系？
边
角
对角线
平行四边形 对边平行且相等. 对角相等. 对角线互相平分.
矩形 菱形 正方形
对边平行且相等. 四个角都 是直角.
对边平行, 四条边相等.
√ √√
四边相等
√√
四个角都是直角
对角线互相平分
√
对角线相等
√
√
√√√
√
√
对角线互相垂直
√√
每条对角线平分一组对角
√√
例：如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相
交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数。 A
D
解: ∵正方形ABCD是菱形.
O
∴AC ⊥BD
∴ ∠AOB= 90°
B
C
又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形.
正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
A
D
jF
B
C
解： ∵正方形ABCD的四个角均为直角，
且对角线平分一组对角。
ACB 1 BCD 1 900 450
2
2
∵CE=AC ∴∠E=∠CAE
E ∵∠ACB是⊿ACE的一个外角
一、复习
矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
形的对角线相等。
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质 菱形的四条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每 一条对角线平分一组对角。
你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?
有一个角 是直角
有一组邻 边相等
∴ ∠BAD= 90°, 且AC平分∠BAD
∴ ∠OAB= 45°
本题还有其他解法吗?
A
D
O
B
C
（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm
（2）正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中 有__8__个等腰直角三角形
解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰 直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的 等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直 角三角形.分别是:
对角相等
对边平行. 四条边相等.
四个角都 是直角.
对角线互相平分、 相等.
对角线互相垂直、 平分. 每一条对角 线平分一组对角.
对角线互相垂直、 平分且相等. 每一 条对角线平分一组 对角.
E
G
F
证明：∵四边形ABCD和DEFG都是正方形.
∴DA=DC, DE=DG ,∠ADC=∠EDG
A
(正方形四条边都相等，四个角都是直角)
B
∴∠ADC-∠ADG=∠EDG-∠ADG, 即∠GDC=∠EDA
在△GDC和△EDA中
DC=DA
∠GDC=∠EDA.
DG=DE
∴△GDC≌△EDA (SAS)
∴AE=CG (全等三角形的对应边相等）
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
E 1 ACB 1 450 22.50
2
2
∵∠AFC是⊿CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
D
C
已知:如图,四边形ABCD与四边形 DEFG都是正方形.求证:AE=CG
B
C
对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角
线平分一组对角。
(2)正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对 称轴?
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两 条对角线，两组对边的中垂线.
根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
性质
图形
对边平行且相等
平行四边形 矩形 菱形 正方形
√