2.1岩石破坏强度准则岩石的破坏主要与外荷载的作用方式、温度及湿度有关。

一般在低温、低围压及高应变率的条件下，岩石表现为脆性破坏，而在高温、高围压、低应变率作用下，岩石则表现为塑性或者塑性流动。

对于较完整的岩石来说，其破坏形式可以分为：1)脆性破坏；3)延性破坏。

图2-1给出了不同应力状态下岩石破裂前应变值、破坏形态示意图和典型的应力-应变曲线示意图。

图2-1岩石破坏形态示意图从图2-1中可以看出岩石破裂种类繁多、岩石破坏过程中的应力、变形、裂纹产生和扩展极为复杂，很难用一种模型进行描述，很多学者针对不同岩石破坏特征提出多种不同岩石的强度破坏准则。

本节主要对已有的岩石强度破坏准则进行总结，找出它们各自的优缺点。

2.1.1最大正应力强度理论最大正应力强度理论也称朗肯理论，该理论是1857年提出的。

它假定挡土墙背垂直、光滑，其后土体表面水平并无限延伸，这时土体内的任意水平面和墙的背面均为主平面（在这两个平面上的剪应力为零），作用在该平面上的法向应力即为主应力。

朗肯根据墙后主体处于极限平衡状态，应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。

考察挡土墙后主体表面下深度z 处的微小单元体的应力状态变化过程。

当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力sz 保持不变，而水平向应力sx 逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态。

土体处于极限平衡状态时的最大主应力为s1=gz ，而最小主应力s3即为主动土压力强度pa 。

根据，当主体中某点处于极限平衡状态时，大主应力1σ和小主应力3σ之间应满足以下关系式：粘性土：213...2tan tan 454522c ϕϕσσ⎛⎫⎛⎫︒︒=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）无粘性土231.tan 452ϕσσ⎛⎫︒=- ⎪⎝⎭（2）该理论认为材料破坏取决于绝对值最大的正应力。

因此，作用于岩石的三个正应力中，只要有一个主应力达到岩石的单轴抗压强度或岩石的单轴抗拉强度，岩石便被破坏。

因此，朗肯强度破坏准则可以表示为：c σσ≥1，或者t σσ-≤3式中，1σ为岩石受到的最大主应力，MPa ；3σ为岩石受到的最小主应力，MPa ；c σ为岩石单轴抗压强度，MPa ；t σ为岩石抗拉强度，MPa 。

朗肯强度破坏准则只适用于岩石单向受力及脆性岩石在二维应力条件下的受拉状态，处于复杂应力状态中的岩石不能采用这种强度理论。

2.1.2最大正应变强度理论岩石受压时沿着平行于受力方向产生张性破裂。

因此，人们认为岩石的破坏取决于最大正应变，岩石发生张性破裂的原因是由于其最大正应变达到或超过一定的极限应变所致。

根据这个理论，只要岩石内任意方向上的正应变达到单轴压缩破坏或单轴拉伸破坏时的应变值，岩石便被破坏。

岩石强度条件可以表示为：m εε≤max （3）式中，m ax ε为岩石内发生的最大应变值，可用广义胡克定律求出；m ε为单向压缩或单向拉伸试验时岩石破坏的极限应变值，由实验求得。

对于三轴应力状态时：()[]321max 1σσμσε+-=E（4） 对单轴拉伸应力状态时：E1max σε=（5）试验证明，这种强度理论只适用于脆性岩石，不适用于岩石的塑性变形。

2.1.3最大剪应力强度理论最大剪应力张度理论也称为Tresca 强度准则，是研究塑性材料破坏过程中获得的强度理论。

试验表明，当材料发生屈服时,试件表面将出现大致与轴线呈45°夹角的斜破面。

由于最大剪应力出现在与试件轴线呈45°夹角的斜面上，所以，这些破裂面即为材料沿着该斜面发生剪切滑移的结果。

一般认为这种剪切滑移是材料塑性变形的根本原因。

因此，最大剪应力强度理论认为材料的破坏取决于最大剪应力。

当岩石承受的最大剪应力τmax 达到其单轴压缩或单轴拉伸极限剪应力τm 时，岩石便被剪切破坏。

当受力物体（质点）中的最大切应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

Tresca 屈服准则认为当岩石中的最大剪应力达到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料就达到危险状态。

该准则对于金属材料而言是近似正确的，但对于岩石材料而言则结果相差较大。

Tresca 准则是假定材料中最大剪应力达到某一特定值，材料就开始进入塑性状态。

其数学表达式为：max 2s Kστ==（6）或者max min 2s K σσσ-==（7）K 为材料屈服时的最大切应力值，也称剪切屈服强度。

若规定主应力大小顺序为123σσσ≥≥，则有：132K σσ-=（8）如果不知道主应力大小顺序时，则屈雷斯加屈服准则表达式为122331222s s s K K K σσσσσσσσσ-=±=±⎫⎪-=±=±⎬⎪-=±=±⎭（9） 左边为主应力之差，故又称主应力差不变条件。

式中三个式子只要满足一个，该点即进入塑性状态。

而从推导过程分析；Tresca 准则由于其假定材料内摩擦力为零(0φ=)，因而在岩土工程设计中，其用于一些只有粘聚强度的纯粘性即(0φ=)的金属和岩石，效果会更好。

2.1.4Coulomb-Navier 准则Coulomb-Navier 准则认为岩石的破坏属于在正应力作用下的剪切破坏，它不仅与该剪切面上剪应力有关，而且与该面上的正应力有关。

所以岩石并不是沿着最大剪应力作用面发生破坏，而是沿着剪应力和正应力最不利组合的某一面产生破坏的。

其表达式为：tan C τσϕ=+(10)式中，ϕ为岩石材料的内摩擦角；σ为正应力；C 为岩石黏聚力。

在στ-坐标上它是一条直线。

如图2-2所示。

图2-2Coulomb-Navier 强度线及极限应力圆岩体中的正断层多陡倾，而逆断层的倾角多小于45°的地质现象。

利用图2-2所示的关系，可推导出：φφσφσsin 1)sin 1(cos 231-++=c （11）１）已知岩石中某一点的应力及剪切强度参数值，即可判断岩石破坏与否。

①左边＞右边?岩石破坏；②左边＝右边?岩石处于临界破坏状态； ③左边＜右边?岩石不破坏。

2）当岩石在单向拉伸条件下破坏时，即10σ=，此时的单轴抗拉强度为：φφσσsin 1cos 23+-==c t （12）3）当岩石在单向压缩条件下破坏时，即30σ=，此时的单轴抗压强度为φφσσsin 1cos 21--==c c （13）Coulomb-Navier 准则是一种经验公式，它一般只适用于岩石材料的受压状态，对受拉不太适宜。

而且，该准则只考虑了最大和最小主应力对破坏的影响，并没有考虑中间主应力的影响。

2.1.5Mohr-Coulomb 破坏准则在岩土工程中，土体破坏准则应用最广泛的准则即为该准则。

该准则实质上也是一种剪应力屈服条件。

它认为当材料某平面上剪应力n τ达到一特定值时，材料就进入屈服阶段。

但是与Tresca 准则不同，这一特定值不是一个常数，而是和该平面上的正应力n σ有关。

其一般数学表达式为：(),,N n f C φστ=（14）当土体在法向应力不大的情况下，取线性关系，其破坏准则的表达式：1313sin cos 22C σσσσφφ-+=+(其中φ为内摩擦角，C 为粘聚力)令132N σσσ+=，又有13max 2σστ-=，则上式变为cos n tg C τφσφ=+；若φ值很小，则cos 1φ≈。

那么等式变为：n tg C τφσ=+（15）从上可以看出Mohr-Coulomb 准则没有考虑中主应力。

我们仍可以从上面的推导过程知道库仑公式的适用范围及其需要注意的地方。

在推导的第一步，先假定其为直线关系，而当法向应力很大时，其抗剪强度往往不成线性关系，而成曲线形式。

法向应力的增大对抗剪强度是有影响的，而库仑公式没有考虑这一影响。

其次在推导过程中假定内摩擦角φ很小，cos 1φ≈，这就造成计算值和真值之间有误差。

Mohr-Coulomb 准则推得：1cos ntg C τφσφ=+（16）而库伦定律：2n tg C φτσ=+（17）现我们把1τ叫真值，2τ叫计算值，可以看出计算值2τ比真值1τ大。

2.1.6八面体应力强度准则假定采用任一斜截面去截取正六面单元体，如图l(a)、图1(b)所示，采用材料力学或弹性力学的方法，则可推导出该斜截面上的最大切应力和主应力，即该截面与其中两个主应力轴成45°，亦即两个方向余弦为22±；而与另一个主应力轴平行，即方向余弦为0，则相应的应力分别记作双剪主切应力和双剪正应力，统称为双剪应力。

图1斜截面应力根据斜截面上的应力与主应力关系，则有：222123123l l l l σσσσ=++（18）l τ=（19） 由此，可得到正交八面单元体上双剪应力与主应力的关系：()1313131/2στσσ=±（20） ()1212121/2στσσ=±（21）()2323231/2στσσ=±（22）其张量表示为：()1/2ij ij i j στσσ=±(),1,2,3i j i j =≠（23）根据弹性理论，有：12383m σσσσσ++==（24）8τ=25）通过变换，等倾八面体应力与双剪应力的关系为：3311131223833ij i j i jσσσσσ==<∑∑++==（26）82233τ==（27） 八面体应力强度理论认为当八面体上剪应力τOCT 达到某一临界值时，材料便屈服或破坏。

冯-米塞斯(Von-Mises)认为，当八面体上的剪应力τOCT 达到单向受力至屈服时八面体上极限剪应力τs ，材料便屈服或破坏。

由冯-米塞斯强度条件τOCT=τs ，得()()()y σσσσσσσ3231213232221=-+-+-（28） 对于塑性材料，这个理论与试验结果很吻合。

在塑性力学中，这个理论称之为冯-米塞斯破坏条件，一直被广泛应用。

2.1.7Drucker-Prager 准则Drucker-Prager 强度准则是Von-Mises 准则的推广。

Von-Mises 准则认为，八面体剪应力或平面上的剪应力分量达到某一极限值时，材料开始屈服，在主应力空间，Mises 准则是正圆柱面，但岩石具有内摩擦性，因此，Drucker-Prager 强度准则在主应力空间是圆锥面，具体形式如下：2121J H H J =+（29）12313J σσσ++=（30）2J =（31）Drucker-Prager 强度准则计入了中间应力的作用，并考虑了静水压力对屈服过程的影响，能够反映剪切引起的膨胀（扩容）性质，在模拟岩石材料的弹塑性特征时，得到了广泛的应用，但是在进行数值计算时，H1、H2究竟选择何种形式，并无明确结论。