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1 a12
a1n
P1m
P12
P11
A
0
a22
a2 n
0 an1
ann
1 0
A
B,
其中P11,P12,...,P1m是对A所作初等行变换所对应的 初等矩阵. 由于|A1|=|P1m...P12P11A|0, 故对B中 A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对
角元为1的上三角矩阵, 即
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1 a12
P2l
P22 P21B
1
a1n
a2n
C.
1
再将C中第n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前 面的第n-1,n-2,...,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即
P3k...P32P31C=I.
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
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1
初等变换
什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？
我们来看线性方程组的一般形式：
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
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2
用矩阵形式来表示此线性方程组：
a11 a12
a21
a22
am1
am 2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn
xn
bm
令 A aij mn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
Ax b 则，线性方程组可表示为
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3
如何解线性方程组？ 可以用高斯消元法求解。
其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.
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推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：
如果对可逆矩阵 等行变换，那么当
A 和同阶单位矩阵 A 变成单位矩阵 E
E 作同样的初 时，E 就变成 A1。
Ps P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps P2P1 )E A1
即可得Y T ( A1 )TCT ( AT )1CT ,
2021/4/18 即可求得 Y .
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矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
条件：A，B可逆，否则不能用此方法。
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2 0
2 1
2 1
2 1
课后 已知 n 方阵 A 0 0 1 1,
1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
0
3
0.8
2
1.4
0
1.2
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
0
1
1.1
1.8 1.9
A-1
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24
注： 1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.（作列变换时也一样）
1
P(i, j(k))
1k
第i行
1
第j行
1
12
1、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则EP (i, j)1 EP(i, j) ；
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1， k
则 EP (i(k ))1 EP (i( 1 )); k
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成
“c”)．
初等行、列变换统称初等变换。
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矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩
阵A与B等价，记作 A B.
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。 故是一种等价关系。即：
若记
a11 a12
B
(A
b)
a21
a22
am1
am 2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵B（方程组的增广矩阵）的行的变换．
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5
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵
施行3种初等运算：
统称为矩阵的初
等行变换，对矩
阵而言同样可以
(1) 对调矩阵的两行。
3 1
6 1
5 1
1 0 0 1 3 2
r2 ( 2 ) r3 (1)
0
1
0
3
3
5
2
2
0 0 1 1 1 1
1 3 2
A1
3
3
5
.
2
2
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1 1 1
22
例2：用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵
2 3 4
A 5 2 1,
1
2
3
解：用初等列变换
求A1.
r2 2r1 r3 3r1
1 0 0
2 2 2
3 5 6
1 2 3
0 1 0
0 0 1
r1r2 r3 r2
能否
写成
“=”？
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21
1 0 2 1 1 0
1 0 0 1 3 2
0 0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r1 2 r3 r2 5r3
0 0
2 0
0 1
3 4 3
4 3
解： 若 A 可逆，则 X A1B.
方法1：先求出 A1，再计算 A1B 。 方法2：直接求 A1B 。
( A B)初等行变换 (E A1B)
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1 2 3 2 5
(A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
r2 2r1 r3 3r1
1 2 3 2 5 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps P2P1 E,
E Ps P2P1 A1,
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即，
A E
初等列 变换
E A1
20
1 2 3
例1：
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
1 2 3 1 0 0
解：
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj，
则 EP (ij(k))1 PE(ij(k)) .
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2、设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，
相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
A A;
A BB A;
A B,BC AC
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初等矩阵
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1
1
P(i(c))
c
第
i
行
1
1
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(3) 以数 k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
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2 3 4
2 1 2
5 1 1 c2 c1 2 5 12 14 c2 (1)
EA
1 1
2 0
3 c3 c1 3
1
0
0
1 2
0
c3 (1)
3
0
1
0
0
1
0
0 0 1
0 0 1
2 1 2
5 12 14
1
0
0
1 2 3
0
1
0
0 0 1
2 5
1 12
r1r2 1
r3 r2 0 0
0 2 0
2 5 1
1 1 1
4
9 3
r1 2 r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 6 3
1 0 0 3 2
3 2
r2 ( 2 ) r3 (1)
0 0
1 0
0 1
2 13， 3 来自XA1B2 1
33 .
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A Ps P2P1 1 P11P21 Ps1
初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，充分性得证。
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必要性： n 阶可逆矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n a2n