内容小结
1. 线性方程组的表示 2. 线性方程组的解
同解方程组, 相容方程组, 矛盾方程组 特解, 通解 3. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 零解, 非零解
都不是线性方程.
x2 2 x1 5
线性方程组的基本概念
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几何意义
一元线性方程 a x b (a 0) 表示数轴上的一个点;
二元线性方程
a1x1 a2 x2 b (a1, a2 不全为零) 表示平面上的一条直线;
三元线性方程
a1x1 a2 x2 a3x3 b (a1, a2 , a3 不全为零) 则表示空间中的一个平面;
第1章 线性方程组
1.1 线性方程组的基本概念 1.2 阶梯方程组的回代法 1.3 线性方程组的消元法
1.1 线性方程组的基本概念
1.1.1 线性方程 1.1.2 线性方程组的表示与解 1.1.3 线性方程组的分类 内容小结
线性方程组的基本概念
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1.1.1 线性方程
“线性”一词源于解析几何中Descartes平面坐标系下的 一次方程是直线方程, 后来就将一次的称为线性的. 一个 n 元线性方程是指具有如下形式的方程
线性方程组的基本概念
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用 W 表示线性方程组的全部解的集合, 称为解集.
有相同的解集的两个方程组称为同解方程组.
若 W , 则称该方程组为相容的或有解.
若 W , 则称该方程组为不相容的或矛盾的或无解.
若 W 只含一个元素, 则称该方程组有唯一解.
W 中任何一个元素, 称为该方程组的一个特解;
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二元线性方程组
2xx11
2x2 x2
3 的几何意义 1
线性方程组的基本概念
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三元线性方程组
2
x1 x1
x2 2x2
x3 3x3
2 5
的几何意义
3x1 4x2 5x3 7
线性方程组的基本概念
பைடு நூலகம்
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由 m 个 n 元线性方程构成的线性方程组可表示为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
x1 2x2 3, 2x1 x2 1. 三元线性方程组
x1 x2 x3 2,
2 x1
2 x2
3x3
5,
3x1 4x2 5x3 7.
线性方程组的基本概念
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线性方程组的几何意义
二元线性方程组表示平面上若干条直线的交点.
三元线性方程组表示空间中若干个平面的交点.
线性方程组的基本概念
若常数项 b1, b2, , bm 全为零, 则称此方程组为齐次
线性方程组; 若常数项 b1, b2, , bm 不全为零, 则称
之为非齐次线性方程组.
线性方程组的基本概念
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mn 齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0,
a21x1
a22 x2 L LL
L
数学上称 n (n 4 ) 元线性方程为超平面.
线性方程组的基本概念
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1.1.2 线性方程组的表示与解
一个 n 元线性方程组是指一些含相同的 n 个未知量的 线性方程所构成的组. 注 组不同于集合!
组中元素有序且允许重复, 集合中元素无序且相异.
线性方程组的基本概念
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例如, 二元线性方程组
a1x1 a2x2 an xn b, 其中 x1, x2, , xn 称为未知量, a1, a2, , an 称为系数, b 称为常数项. 例如, 2x 4 是一元线性方程;
线性方程组的基本概念
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平面上的直线方程
是二元线性方程.
2x1 x2 5
方程
4x1 2x2 x1x2 , 和
W 中全部元素的一个通用表达式称为该方程组的通
解或一般解.
线性方程组的基本概念
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1.1.3 线性方程组的分类
对于mn 线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2 L LL
a2n xn L
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm.
a2n xn
0,
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
总是有解的, 因为 x1 0, x2 0, , xn 0 就是它的一 个解, 称为零解; 若一个解中 x1, x2, , xn 的取值不全
为零, 则称为非零解.
我们关心的是齐次线性方程组是否有非零解.
线性方程组的基本概念
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a21x1 a22 x2 L
a2n xn
b2 ,
LLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm ,
称之为 mn 线性方程组.
mn 线性方程组的一个解是指 n 个数组成的有序数组
c1, c2, , cn , 当 x1, x2, , xn 依次用 c1, c2, , cn 代入后, m 个方程都成立.