利用 “拆项相消” 求和
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解1:
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
ln(1 1 ) ln 2 n
故原级数收敛 , 其和为
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解2:
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
[ln(n 1) ln n] [ln n ln(n 1)]
o
1 2 3 N 1N
x
1 1 1 23
1 1 N 1 N
SN
即 ln N SN , 所以
lim
N
SN
lim ln N
N
故调和级数发散
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ln N SN
又
N1 dx
11
1
1x
23
N
y
y 1 x
SN 1 即 ln N SN 1 ,
o 1 2 3 N 1N
2k
1 2
n k 1
1
k(k
1)
(k
1 1)(k
2)
1 2
1 1 2
(n
1 1)(n
2)
进行拆项相消
1
lim
n
Sn
, 4
这说明原级数收敛 , 其和为 1 . 4
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例 3: 讨论几何级数（等比级数）的收敛性：
aqn a aq aq2 aqn , (a 0)
例 4：以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样 构造的：在闭区间[0,1]中去掉开区间( 1 , 2)，这样就剩
33 下两个闭区间[0, 1]，[ 2 ,1]，再分别去掉这两个闭区间
33 中间的三分之一开区间，余下四个闭区间，再次去掉 每个闭区间中间的三分之一开区间，无穷次重复这个 过程，每一次都去掉上一步剩下的每个闭区间中间的 三分之一开区间。Cantor 集是由去掉所有这些开区间 后，[0,1]上剩下的点组成。
n0
解: 如果 | q | 1 时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn
a
(1 qn )
1q 1q
当 | q | 1时 , lim qn 0 n
lim
n
sn
1
a
q
当 | q | 1时 ,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
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当 q 1 时 , sn na
1 100
1 1000
1 10n
)
3 10
3 100
3 1000
3 10n
引例3. 考察： 1 1 1 1 248
1 2n
2
0
1
3 2
2

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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
则
lim
n
n
lim
n
Snk
lim
n
Sk
S Sk
类似地，可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
1
1
2
1
1
2
2
故
n1
5 n(n
1)
1 2n
5
1
6
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性质 3：若级数 un 收敛，则 un 也收敛 (k 1)。
n1
n k 1
且其逆亦真。
n
证明: 设 Sn uk , 则 k 1
n uk1 uk2 ukn Snk Sk ,
级数与数列有着密切的关系：
给定级数
un
，就有部分和数列
Sn
n
ui
；
n1
i1
给定数列{Sn }，就有以{Sn }为部分和数列的级数：
S1 (S2 S1 ) (Sn Sn1 ) un ， n1
其中：u1 S1，un Sn Sn1，(n 2)。
按定义，级数 un 与数列 {Sn }同时发散，同
1 4
]
A1(1
1 3
1 1
4
)
9
9
A1(1
3) 5
23 5
雪花的面积有限。
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
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例
1：若级数
an
n1
的前
n
项部分和
Sn
n n
1， 1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
但
lim
an
n1
lim
n
Sn
1
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解:
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n )
所以级数 (1) 发散 ;
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
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于是有
lim
n
Pn
雪花的周长无限。
lim
n
An
A1
lim[1
n
1 3
1 ( 4 )n1 9
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观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
播放
依次类推
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第 n 次分叉：
周长为:
Pn
(
4 3
)n1
P1
面积为
n 1,2,
An
An1
3{4n2
1 3n
)2
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例 5: 证明调和级数 1 发散。
n1 n
证明1： 已知 ln(1 1 ) 1 nn
Sn
n k 1
1 k
n
ln(1
1 )
n k1 ln
k 1
k
k 1
k
ln 2 ln 3 ln n 1 ln(2 3 4 n 1)
2
n
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
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无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形——“Koch雪花”。
去掉剩下的八个小正方形中间的九分之一，以此类推。
证明：去掉的所有正方形的总面积为 1.这意味着
Sierpinski 毯的面积为 0。
证明: 被去掉所有正方形的总面积为
S
(
1 3
)2
+8
(
1 32
)2
+82
(
1 33
)2
+83
(
1 34
)2
8
1 ( 8 )n
8 n1 9
1 8
9 1
8
1
9
8n1
(
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（1）证明：被去掉的所有区间的总长度为 1。尽管如
此，Cantor 集还是包含无穷多个点，举出几个属于
Cantor 集的数。
证明: 被去掉所有区间的总长度为
L
1 3
+
2 32
22 + 33
23 + 34
2n1 3n
1 [1 2 ( 2 )2 ( 2 )n1 ]
23 n
ln(n 1)
级数发散。
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例 5: 证明调和级数 1 发散。
n1 n
证明2：
S2n
Sn
1 n
1
n
1
2
1 n 1 2n 2n 2
假设调和级数收敛 , 其和为 S .
于是 lim( S2n Sn ) S S 0,
n
便有 0 1 (n ) 这是不可能的 .
n n
1， 1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
,
n2
a1 S1 0
11
1
2lim[
]
n 2 3 3 4
n (n 1)
1 2lim{(
n 2