第２５卷第１期ｖｒ０１．２５Ｎｏ．１２００８年１月Ｊａｎ．２００８工程ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ力学ＭＥＣＨＡＮｌＣＳ２１７

文章编号：１０００－４７５０（２００８）０１—０２１７一０７一种改进的齿轮非线性动力学模型

＋唐进元，陈思雨，钟掘（中南大学机电工程学院，湖南，长沙４１００８３）

摘要：在考虑齿面摩擦、齿轮时交啮合刚度和齿侧间隙的情况下，推导出了改正的齿轮副系统的非线性动力学模型，应用符号运算软件，编写符号运算程序，得到了齿轮副非线性振动微分方程。该模型在计算摩擦力时，考虑了载荷在啮合区的动态分配，并根据啮合区单双齿交替的特点提出用周期扩大法建立摩擦力、齿轮时变刚度的模型，改正的齿轮非线性动力学模型是一个周期系数分段线性的非自治系统，与以前所建立的模型相比，该模型的参变系数是具有相同周期的周期函数，新的齿轮非线性动力学模型的建立为求解时变的齿轮动力学方程近似解析解带来方便。关键词：非线性模型；时变啮合刚度；摩擦力；齿轮；问隙中图分类号：ＴＨｌｌ３．１；１Ｈ１３２．４１文献标识码：Ａ

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由于齿面摩擦、齿面间隙及时变啮合刚度等因素的存在，导致齿轮传动系统成为一个复杂的强非线性动力学系统。在实验和使用过程中都发现，齿轮副在工作时会表现出典型的非线性特性，如：次谐和超谐响应、极限环共存等，而且还可能出现拍击和锤击等现象，使噪音和动载增大。为了研制高精度、低噪音的齿轮传动，以及提高齿轮传动的性能，国内外许多学者在齿轮传动系统的非线性动力学方面做了许多工作【卜３１。在目前有关齿轮传动的非线性动力学研究文献中，考虑齿面摩擦影响的文献相对较少，齿轮副在工作过程中，齿面摩擦力的大小和方向都会发生周期性的变化，因而形成一种内部激励，并与齿侧间隙、时变刚度等非线性因素强耦合，使齿轮传动系统表现出复杂的非线性特性。ＶａｉｓｈｙａＭ和ＨｏｕｓｅｒＲ【４Ｊ建立了考虑摩擦和时变刚度的六自由度系统，利用数值仿真方法研究了

收稿日期：２００６．０８．２１；修改日期：２００７－０５．０８基金项目：国家自然科学基金项目（５０４７５１３９）；国家重点基础研究发展计划（９７３计划项目Ｘ２００５ｃＢ７２４ｌ呻作者简介：‘唐进元（１９６２一），男，湖南人，教授，硕士，副院长，从事齿轮和数字制造研究（Ｅ锄ｉｌ：ｊｙｔａｎｇｃｍ＠１６３．ｃ岫）；

陈思雨（１９８ｌ一），男，湖北人，博士生，从事齿轮非线性动力学研究（Ｅ．ｍａｉｌ：岱ｙｄ５０５３＠ｙａｈｏｏ．ｃ咖，∞ｈ钟掘（１９３６一），女，河北人，教授，中国工程院院士，主要从事复杂机械系统与极端制造研究．　万方数据２１８工程力学

摩擦对齿轮系统的动态性能的影响。随后，二人利用谐波平衡法求解了单自由度线性系统的周期解，并分析了参数对系统的影响［５】．王三名［６】等建立了考虑摩擦、时变刚度、轮齿间隙的单自由度齿轮系统，并利用数值仿真的方法研究分析了摩擦对齿轮系统的动态特性的影响，但是所建立的模型中时变阻尼和时变刚度系数的变化周期不同，直接采用谐波平衡法不能求得其周期解。综上，在已有的研究文献中齿面摩擦力模型有待完善，主要不足有：１）许多文献仅仅考虑单齿啮合区的齿面摩擦，没考虑双齿啮合区的齿面摩擦对非线性振动的影响；２）考虑了双齿啮合时，认为啮合力在每对齿间平均分配，把双齿啮合区的摩擦力计算简单地表示为齿对间平均分配的啮合力与摩擦因数的乘积；现有的国内外文献［１—３】报道的齿面摩擦力模型不能真实反映出齿面摩擦力对齿轮副振动的影响，实际的摩擦力是动态变化的，对于现有的考虑摩擦、时变刚度和间隙的齿轮非线性动力学模型用谐波平衡法、多尺度法等近似方法很难求得其解析解。本文目的在于研究该系统中的主要非线性因素，并根据齿轮系统的运动特性，将刚度等参数的周期进行扩展。建立一种适合于用谐波平衡法和能量法求解的考虑摩擦和间隙的齿轮副系统的非线性模型，为深入研究齿轮系统非线性动力学行为打下了基础。

ｌ轮齿时变刚度与周期扩大法

无论是直齿圆柱齿轮传动还是斜齿圆柱齿轮传动，齿轮啮合刚度是周期性变化的。有不少研究者将周期性变化的啮合刚度近似为矩形波，然后用Ｆｏｕｒｉｅｒ级数将矩形波展开，以求近似的解析解或数值解。文献［１—２】分别通过试验研究和精确的理论计算，提出了各自的齿轮啮合刚度模型，由于试验装置的几何参数、性能参数、测试精度及研究目的不同，或计算模型、计算方法不同，其结果在数值上存在一定差异，但齿轮啮合刚度的变化规律基本相同。刚度计算公式本文采用的是ＫｕａｎｇＪＨ和ＹａＩｌｇ

ＹＴ【３】应用二次平面应变等参有限元模型计算与回归拟合得到的单齿刚度计算公式，这个公式在限定的范围内计算单齿刚度具有足够的精度【４１。设耳为啮合点到齿轮圆心ａ的距离。则单齿刚度的计算公式可以表示为：Ｋ（‘）＝（４＋４墨）＋（４＋呜五’揣（１）厶＝ｚ３．８６７＋１．６１２弓一ｏ．０２９１６彰＋ｏ．ｏ００１５５３才，４＝１７．０６０＋ｏ．７２８９毛一ｏ．０１７２８彳＋ｏ．ｏｏ００９９９３方，４＝２．６３７一１．２２２乙＋ｏ．０２２１７ｚ；一ｏ．ｏ００１１７９ｚ；，鸣＝一６．３３０一１．０３３弓＋ｏ．０２０６８Ｚ—ｏ．ｏ００１１３０考。式中：再，、五和名分别为节圆半径、变位系数和齿数（ｆ印，曲；一对齿轮啮合传动如图１所示，设名，名分别为主动、从动齿轮的基圆半径；乃，ｚｇ分别表示主动、从动齿轮的齿数；缈。，ｑ分别为主动、从动齿轮的转动角速度；分度圆压力角为口，根据齿轮的旋转运动学可知，在每一瞬间，啮合点以绝对速度国。厶沿啮合线方向做匀速运动。所以啮合点到主动、从动齿轮中心的距离，；，，、，；，ｇ可以分别表示为：，；，Ｐ（ｆ）＝√（（名＋名）ｔａｌｌ口一√（磊一髻）＋名％ｆ）＋名％∽：瓜蚕而其中％为小齿轮的齿顶圆半径。（２）（３）图１齿轮啮合示意图Ｆｉｇ．１Ｓｋｅ劬ｏｆｇｅａｒｍｅｓｈｉＩｌｇ将式（２）、式（３）代入式（１）即可求得单齿刚度，为了求得双齿啮合时的综合刚度，作如下假设：１）在实际啮合中忽略动态载荷对刚度的影响；２）齿轮各齿几何、物理特性一样。齿轮副任何一啮合齿对在啮合点处的综合刚度为两单齿刚度串联的刚度，则啮合点处的综合刚

　万方数据工程力学

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度七（，）为：坼）＝豸卷．（４）式（４）求得的刚度是时间的函数。在实际的齿轮设计中齿轮的重合度系数１＜占＜２，也就是说一个啮合周期丁中（占一１）ｒ的时间是处于双齿啮合，其余时间是处于单齿啮合。图２是刚度扩展示意图，图２中砀、杨分别表示图１中的齿对彳与齿对Ｄ的刚度，图２中锯齿线部分表示有一对轮齿处于啮合阶段，直线部分表示该齿已啮出。鼠为双齿啮合的起点，也是时间的起始点；岛Ｃ２和ｑ蜀为双齿啮合区；ｃ２Ｇ为单齿啮合区。齿轮的法向齿距为见，岛为啮合点沿着啮合线运动以距离所经历的时间；毛为啮合周期内单齿啮合的时间；厶为啮合起点及沿着啮合线运动到节点的时间。在一对齿轮传动时，其重合度的大小，实质上表明了同时参与啮合的轮齿对数的平均值。假设齿轮副的重合度为占，一对齿轮副的啮合周期丁可以表示为：ｒ＝２兀占／ｚｐ％（５）则ｆ０、ｆ１和乞可以分别表示为：乇＝２娩ｐ％（６）毛＝２ｆｏ一丁＝（４—２占）眈ｐ％．（７）乞＝（√去一《一√，２一名）７名％（８）根据上面的假设，在ｆ＝０时刻第二对齿开始进入啮合，则第二对齿的综合啮合刚度可以表示为：屯（ｆ）＝七（ｆ）（９）在第二对齿进入啮合之前的一对齿已经沿着啮合线运行到ｑ点。则此点的啮合刚度毛（ｆ）可以表示为：白（ｆ）＝七Ｏ＋岛）（１０）图２刚度扩展示意图Ｆｉｇ．２Ｓｋｅｔｃｈｏｆｅｘｔｅｎｄｉｌｌｇｓｔｉｎｈｅｓｓ文献［６—７】中把刚度表示为以丁为周期的周期函数。在本文中为了简化后续的数值计算并获得齿轮副系统的解析解，假设轮齿在五点啮出后仍然在啮合，啮合延伸一个单齿啮合长度。只是此延伸阶段啮合刚度为０，相应的摩擦因数也都是０。使齿轮副系统的刚度的周期由原来的丁变为互。根据式（５）、式（７）即可得扩展后齿轮刚度的周期互为：五：ｒ＋ｆ１：堡＋燮：旦（１１）

ｚ尹ｐＺｐ∞ｐｚ尹ｐ

所以在扩大周期后的齿对的综合啮合刚度为一周期为Ｚ的函数，其表达式变为：

巧ｃｔ产｛台ｏ’：；茎：茎；，歹＝·，２ｃｔ２，

２齿面问的摩擦模型建立对每一齿对来说，啮合点位于齿轮节圆上部和下部时，由于齿面间的滑移速度改变方向，导致摩擦力改变方向，另外，各齿对间的啮合力大小及啮合点也不相同，所以，即使啮合力保持恒定，齿对间的摩擦力大小及方向也会作周期性变化。啮合点由节圆一侧移动到另一侧时，摩擦力将改变方向。轮齿刚度采用文献［３】提出的表达式。占（ｆ）是由于齿

轮的设计和安装误差引起的静态传递误差。齿面间的相对滑动引起了在垂直于啮合线方向的摩擦力和相对于齿轮轴的转矩Ｌ。