dθ θ
∆l = ∆AB1 = B1 B ε= AB1 O O2 1 l
y(dθ ) = dx
O1
dx
y
O2
dθ θ
y
A
dx B1
B
∆AB1 B1 B y(dθ ) ε= = = dx AB1 O1O2
中性层的曲率为 ρ
dθ θ
dθ = ρ dx 1
ε=
y
ρ
y A
O1
dx y
dx B1
O2
dθ θ
O
M
Z
x
dA
对y 轴和 z 轴主矩
My = ∫A z(σdA)
y
Z
σ dA
MZ = ∫A y(σdA)
y
= F N = ∫AσdA 0
My = ∫A z(σdA) = 0
M
Z
MZ = ∫A y(σdA) = M
y
O
x
dA
σ dA Z
该梁段各横截面上 FN 和 My 均 等于零， 等于零， 而 Mz 就是横截面上 的弯矩 M 。
§9—3
梁截面上的正应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上 既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。
m M
FS m
m τ
m
σ
M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = τ dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = σ dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
实验： 取 一 纯弯曲 梁来研究 。
1，几何方面 ，
m a n a
b m n
b
梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（ 梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等） 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。
m a
n a
m
m
b m n
b
梁变形后观察到的现象 ），变形后均为 （1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为 ）变形前相互平行的纵向直线（ 圆弧线（ 等 ，且靠上部的缩短靠下部的伸长。 圆弧线（a’a’ ，b’b’等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。
E
ρ
Sz
=0
SZ = 0
中性轴必通过横截面的形心
中性轴过截面形心且与横截面的对称轴 中性轴过截面形心且与横截面的对称轴 y 垂直
C C Z
Z
中性轴 中性轴
y y
M
压
M C Z
拉
C
Z
中性轴 中性轴 拉
y
y
压
两部分。 中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
My
= ∫A z ⋅ (σdA) =
dθ θ
O1O2 的长度为 dx 。
O1
dx
O2
中性层与横截面的交线称 为 中性轴 。 中性轴与横截面的 对称轴成正交 。
dθ θ
O1
dx
O2
中性层与中性轴
dθ θ
横截面的 对称轴
横截面
O1
dx
O2
中性层
中性轴
dθ θ Z
x
y
将梁的轴线取为 x 轴 。
O1
dx
O2
横截面的对称轴取为 y 轴 。 中性轴取为 z 轴 。
M
z
yt max
y
σtmax
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ytmax 和 yCmax 直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。 直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。
σCmax
σ cmax
yc max
M
z
yt max
y
σt max
σtmax
σ ax = tm
M⋅ yt max IZ
1
y σ = Eε = E ρ
σ=
M⋅ y Iz
该式为等直梁 纯弯曲 时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M Iz y 横截面上的弯矩。 横截面上的弯矩。 横截面对中性轴的惯性矩。 横截面对中性轴的惯性矩。 求应力点的 y 坐标 。
σ=
公式的适用性
M⋅ y Iz
由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而 公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且 载荷作用在对称面内的情况。 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截 面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。 公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情 形（横力弯曲）？
B
ε=
y
dθ θ
ρ
ρ
该式说明 ， ε 和 y 坐标成正比 , 因而， 横截面上到中性轴等 因而， 远的各点，其线应变相等。 远的各点，其线应变相等。
y
O1
dx
O2
dθ θ
y
A dx dx B1
B
dθ θ
ε=
ρ
y
ρ
Z
O
O1
x
dx
O2
dθ θ
y y
y
y
A dx dx B1
B
2，物理方面 ， 假设： 假设： 纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态 纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态 。 材料在线弹性范围内工作，且拉， 材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 。 由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系
横力弯曲时的正应力
横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲） 平面假设 不再成立
此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立. 由弹性力学的理论，有结论： 当梁的长度l与横截面的高度h的比值:
l >5 h
则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应 力有足够的精度。 l / h > 5 的梁称为细长梁。
σ=
m a
n a
m m’ n’
m
b m n
b
m’ n’
（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（ mm , nn 等）变形后仍 ）变形前垂直于纵向直线的横向线（ 为直线（ 但相对转了一个角度， 为直线（ m’m’ , n’n’ 等） ，但相对转了一个角度，且与 弯曲后的纵向线垂直。 弯曲后的纵向线垂直。
纯弯曲的变形特征 基本假设1: 平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。 基本假设2: 纵向纤维无挤压假设 纵向纤维间无正应力。
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA P P RB
C a P
D a
+ +
P
Pa
+
P
P
横力弯曲
C a D a
梁的横截面上同时有弯 矩和剪力的弯曲。 纯弯曲
P
+ +
P
梁的横截面上只有弯矩 没有剪力的弯曲。 横截面上只有正应 力而无切应力。
Pa
+
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。 几何 物理 静力学
第 9 章
弯
曲
剪力和弯矩 •剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图的进一步研究 弯曲正应力
§9-1 §9-2 9 §9-3 9
§9-4 求惯性矩的平行移轴公式 9 §9-5 9 弯曲切应力
§9-6 梁的强度条件 9 §9-7 挠度和转角 9 §9-8 弯曲应变能 9 §9-9 9 斜弯曲 §9-10 超静定梁 9
公式推导
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。 由平面假设可知，在梁弯曲时， 由平面假设可知，在梁弯曲时， 这两个横截面将相对地旋转一个 角度 dθ 。
dθ θ
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短， 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 由于变形的连续性， 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
1m
B
1m
D
80
65
可见， 可见， σt,max = 56.0MPa 发生在 C 截面的下边缘 σC,max = 67. 1MPa 发生在 B 截面的下边缘
20
80
RA
P1=8KN
RB
P2=3KN
35
20
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1m
z c
1m
B
1m
D
80
65
30.2
36.1
20
56.0
67.1
重点、难点 重点、
正应力公式： 正应力公式：
y
y1
Z
O
x
y
需要解决的问题 如何确定 中性轴的位置 ？ 如何计算 ρ ?
σ Eε E = = ρ
y
M
中性轴
3，静力学方面 ， 在横截面上法向内力元素 σdA 构成了空间平行力系。 构成了空间平行力系。
M
O σ1 dA
dA
Z
x
dA
y
Z
σ dA
y
该空间平行力系简化为 x 轴方向的主矢
F N = ∫AσdA
4，讨论 ，
M⋅ y Iz
以绝对值代入。 （1）应用公式时，一般将 M ，y 以绝对值代入。根据梁变形 ）应用公式时， 的正，负号。 的实际情况直接判断 σ 的正，负号。
以中性轴为界
{
梁变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号） 梁变形后凸出边的应力为拉应力（ σ 为正号） 梁变形后凹入边的应力为压应力（ 为负号） 梁变形后凹入边的应力为压应力（ σ 为负号）
σmax =
M ymax Iz
WZ =
IZ ymax
WZ 称为抗弯截面模量。 称为抗弯截面模量。
中性轴是对称轴 的梁横截面上最大正应力的计算公式为