第1章 绪论1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：.0.17,430.56,6.385,031.0,1021.154321⨯=====*****x x x x x2. 求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有4位有效数字()982.27783≈。

第2章 函数插值1. 给出)ln()(x x f =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

2. 44≤≤-x 上给出xe xf =)(的等距节点函数表，若用线性插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？3. 13)(47+++=x x x x f ，求].2,,2,2[]2,,2,2[8171f f 及4. 求一个次数不高于4次的多项式)(x P 使它满足0)0()0(='=P P ，(1)(1)1,(2)1P P P '===。

5. 证明若)()()(x g x f x F +=，则],,[],,[],,[F 101010n n n x x x g x x x f x x x +=6. 已知实验数据如下：用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式。

7. 设数据)4,3,2,1,0)(,(=i y x i i 由表3-1给出，表中第4行为,ln i i y y =可以看出数学模型为bxae y =，用最小二乘法确定a 及b 。

8. 给定如下数值（1） 求函数f(x)的差商表；(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式3()N x 。

第三章 数值积分1. 分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分： （1）dx x x⎰+1024，8=n ；(2) dx x ⎰91，4=n . 2. 若用复化梯形公式求积分dx e x ⎰10，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？3. 给定求积公式,试确定求积系数，使之代数精度尽可能高。

(1) ⎰--++-≈a a a f A f A a f A dx x f 22101)()0()()(，(2)11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ 4. 用龙贝格算法求积分直到第五位小数不变。

（1）311dx x ⎰ （2）10sin x dx x⎰5. 若0)(''>x f ，证明用梯形公式计算积分dx x f b a⎰)( 所得结果比较精度值大，并说明几何意义。

6.用梯形公式及辛普森公式求积分dx e x ⎰10的近似值。

估计误差.7. ()f x 在[-1，1]上有二阶连续导数，（1） 写出以01x x ==为插值节点的()f x 的一次插值多项式1()L x ；（2） 设想要计算11()f x dx -⎰，以1()L x 代替()f x ，写出求积公式；（3） 写出其代数精度。

第四章 非线性方程求根1. 用二分法求方程210x x --=的正根，使误差小于0.05．2. 若将方程0123=--x x 写成下列几种迭代函数形式，求不动点附近的一个根，并建立相应的迭代公式．（1）3211)(x x x +==ϕ； （2）2211)(xx x +==ϕ； （3）11)(3-==x x x ϕ． 试判断由它们构成的迭代法在5.10=x 附近的收敛性．选择一种收敛的迭代法，求在5.1附近有4位有效数字的根，3. 给定函数()x f ，设对一切x ，()x f '存在且()M x f m ≤'≤<0，证明对于范围M20<<λ内的任意定数λ，迭代过程()k k k x f x x λ-=+1均收敛于()0=x f 的根*x ． 4. 设)3()(2-+=x c x x ϕ，应如何选取c ，才能使迭代)(1k k x x ϕ=+具有局部收敛性？c 取何值时，这个迭代收敛最快？5. 设0)(=x f 有单根*x ，)(x x ϕ=是0)(=x f 的等价方程，)(x ϕ可表示为 ()()*()x x m x f x φ=-， 证明：当*)('1*)(x f x m ≠时，迭代公式)(1k k x x ϕ=+是一阶收敛的；当*)('1*)(x f x m =时，迭代公式)(1k k x x ϕ=+至少是二阶收敛的． 7. 常数A 的m 次根可由对方程0=-A x m或01=-mx A用Newton 迭代法求得，验证它们相应的Newton 迭代格式分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+11)1(1m k k k x A x m m x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=++A x x m m x m k k k 11)1(1． 8. 设*x 为)(x f 的m 重零点，若将Newton 迭代法修改为)(')(1k k k k x f x f mx x -=+，)10( ，，=k ，证明：此迭代格式具有2阶收敛速度． 9. 应用牛顿法于方程()012=-=x ax f ，导出求a 的迭代公式，并用此公式求115的值．10. 证明迭代公式()ax ax x x k k k k ++=+22133， 是计算a 的三阶方法．假定初值0x 充分靠近根*x ，求()()31lim kk x x a x a --+∞→．第五章习题1. 利用Gauss 消去法求解下列方程组并写出系数矩阵相应的三角分解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=-+120221321321321x x x x x x x x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++53367435532321321321x x x x x x x x x ．2. 用矩阵的LU 分解求解方程组b AX =. 5791068109710875765A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1111b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 4.用追赶法求解三对角方程组b Ax =，其中 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=510151015A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=71417b ； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2100141001410012A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0321b ．（3）410141014A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，111b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭6.设向量(1,2,3,4)T X = ，计算1||||X ， 2||||X ， ||||X ∞.7.设矩阵112|,||||,||||.34A A A ∞⎛⎫= ⎪⎝⎭计算8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=989999100A ， （1）计算∞A和2A ； （2）计算∞)(A cond 和2)(A cond ．9. 设有方程组b Ax =，其中（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=108481044410A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=251113b ，（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++315641036212328321321321x x x x x x x x x分别写出雅克比迭代、高斯-塞得尔迭带格式，并指出迭代的收敛性.10. 分别用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法计算方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------------=410100141010014001100410010141001014A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212212b ， 初始向量取()Tx 0,0,0,0,00=，求精度满足2x 的近似解．12. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111a a a a a a A ，（1）若A 为正定阵，a 应为哪些值？（2）对a 取哪些值，求解b Ax =的Jacobi 迭代法收敛？（3）对a 取哪些值，求解b Ax =的Gauss —Seidel 迭代法收敛？13. 给定线性方程组12312312321048153x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，通过调整方程顺序，建立收敛的高斯-塞得尔迭带格式，取初值(0)(2)(0,0,0),T X X =试计算.习 题 七1. 用梯形法求解初值问题⎩⎨⎧=-=1)0('y yy ，证明其数值解为nn hh y )22(+-=， 固定x ，取nxh =，证明：0→h 时，n y 收敛于原初值问题的精确解． 2. 用Euler 公式和改进的Euler 公式分别求下列初值问题的数值解(取步长1.0=h 计算到3y )：d 2d (0)1.yxyx y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．3. 取步长1.0=h ，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题d (1),01,d (0) 1.yy xy x x y ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪=⎩4. 证明: 改进的Euler 法能精确地解初值问题⎩⎨⎧=+=.0)0(,'y b ax y ．6. 试用欧拉格式),(1n n n n y x hf y y +=+，和梯形格式)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y ，建立一个预报—校正格式，并用此格式计算⎪⎩⎪⎨⎧=+=.1)0(,32y y x dxdy其中，2.00≤≤x ，取步长1.0=h ．。