习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=-所以 221322 3.14159265 3.1428571430.0012644930.0057110.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯所以，227作为π的近似值有3个有效数字。

（4）绝对误差:355() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271113e x π=-=-=-≈-相对误差：7()0.000000271()0.86310355113r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 3553.141592920.31415929210113==⨯，m=1。

而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=-所以6617355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005113110.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯所以，355113作为π的近似值有7个有效数字。

指出：①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。

②为简单计，本题相对误差没有化为百分数。

③在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基本功，必须掌握。

绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。

因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。

实际上，根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。

④祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。

南北朝时期人，汉族人，字文远。

生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。

祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。

在世界上最早计算出π的真值在3.1415926（朒数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7位，这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。

祖冲之还给出π的两个分数形式：227（约率）和355113（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了一千多年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。

⑤近似数的有效数字只能是有限位。

⑥近似数的误差分析中采用近似数x而不是其准确数，准确数是未知的。

⑦常出现德错误是，第一，不进行具体计算，结果不可靠；第二，两个分数近似值（尤其第二个）取的数位不够，结果有效数位计算错误；第三，认为分数就是精确数，就有无穷多有效数字。

2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。

解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346．7854≈346．79， 7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246， 0．600300≈0．60030。

指出： 注意0。

只要求写出不要求变形。

3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。

12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。

分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。

其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。

有效数字由定义可以直接得出。

解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε==== 由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是111222333444()0.00005()0.16%,0.0315()0.00005()0.02%,0.3015()0.005()0.002%,31.5()0.5()0.01%.5000x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈==≈==≈==≈有效数字分别有3位、4位、4位、4位。

指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。

4.0.1％。

解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1％，则 111100.1%2n a -⨯<，而34≤≤，显然13a =，此时，1111110100.1%223n n a --⨯=⨯<⨯， 即13110106n --⨯<， 也即461010n ⨯> 所以，n=4。

3.162≈。

5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =⨯=-⨯与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。

解：3333111111112222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110fl x e fl x x fl x fl x e fl x x fl x =⨯=-=⨯-⨯=⨯=-⨯=-=-⨯--⨯=⨯其相对误差分别是3112310.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210e e ⨯⨯=≈=≈-⨯-⨯。

6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。

解：422222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110fl x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯42242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.23371258100.00000618100.00000023100.00000618100.0000064110fl x y z --++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯精确计算得：4222222220.23371258100.33678429100.3367781110(0.00000023371258100.3367842910)0.33677811100.33678452371258100.33677811100.000064137125810x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。

计算结果证明，两者精度水平是相同的。

***在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z --=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。

解：42222222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00233713100.3367842910)0.33677811100.33912142100.33677811100.00003391100.33677811100.336744210fl x y z -----++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯42242242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.2337125810(0.00003368100.3367781110)0.23371258100.33674742100.00000023100.33674742100.3367471910fl x y z ----++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。