数值分析2•当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。

解：X0 =1,xj = —1,x2 =2,f(X。

)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4;l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2)(xo -X/X o _x2)2(x -x0)(x -x2) 1l i(x) 0 2(x-1)(x-2)(xi ~x0)(x i ~x2)6(x—x0)(x—x,) 1l2(x) 0 1(x-1)(x 1)(X2 -X°)(X2 - X i) 3则二次拉格朗日插值多项式为2L2(X)= ' yk1k( x)kz0= -3l°(x) 4l2(x)1 4=(x_1)(x—2) 4(x-1)(x 1)2 3 5 2 3 7x x -6 2 36•设Xj, j =0,1,||(,n为互异节点，求证：n(1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n);j=0n(2)7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n);j £证明(1)令f(x)=x kn若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。

j=0f (n 十)(©) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X)n1(X)(n +1)!.f(n1)( ^0R n(X)=On二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n);j ：on⑵、(X j -x)k l j(x)j卫n n=為(' C?x j(—x)k_L)l j(x)j =0 i =0n ni k i i=為C k( -x) (、X j l j(x))i =0 j=0又70 _i _n 由上题结论可知n.原式二''C k(-x)k_L x'i=0=(X -X)k=0-得证。

7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证:max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x).解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为L i(x^ f(x o) x x f (xjX o —人x -X oX —X ox-b x-a==f(a) f(b)-a -b x -a又T f (a) = f (b)二0L i(x) = 01插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj又；(X —X o)(X —X i)卢-.2 乞2〔(X -X o) (X i - X)] L厶J= g(X i -X。

)24= ](b—a)241 2二max f(x) -8(^a)醴f”(x).&在-4乞x岂4上给出f(x)=e X的等距节点函数表，若用二次插值求截断误差不超过10£，问使用函数表的步长h应取多少?解：若插值节点为X j丄X j和X i+，则分段二次插值多项式的插值余项为1 XR(x) =3 f ”(-)(X —X i」)(X—X)(x —Xy) 3!1二R(X)兰6(x—X i」)(x—x)(x—xy)max设步长为h，即X i」二X j -h,x i二人h—e4h3.27若截断误差不超过10$，则R2(X) <10^山e4h3E10〃27.仁0.0065.9•若y n =2：求「y n及：.4y n.,解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

nyn =2：4y n =(E -1)4y n e x的近似值，要使f (X)-(2-1)4y n二 y n=2n1 1 、.4y n =(E 2 -E^)4y n1 = (E^)4(E-1)4y n m 4%二 ynd = 2n °16. f (x) +X 4+3X +1,求F ［芳门川公］及F ［芳门川/］。

解：T f (x) = x 7 x 4 3x 1若 x = 2i ,i 二 0,1J ||,8f (n)(亡、 则f &0,为,|1(凶丄一一n!• f 〔X 0,X 1,|l(,X 7 丄小丄二17! 7!f (8)心f 〔X o ,X 1,|l(,x 8 1 =— ——=08!19 . 求一个次数不高于 4 次的多项式 P ( x ), 使它满足P(0)二 P (0) =0,P(1) = P (1) = 0,P(2) =0解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4的多项式x 0 = 0,x 1=1y 0 = 0, y 1 = 1 m 0 =0,® =14=S (—1)j=04 汽(-1)j j=0 4 =S (-1)j j2£ j.yj■4y j E 4」y n 2j y n1 1H3(x)二為y「j(x) '、' rni j lj(x)j=o j=o：°(x)=(仁2^^)(^^)2X o —Xi X o—X i=(1 2x)(x—1)2：i(x) =(1_2士彳)(匸纠2xi — xo xi —x o=(3 -2x)x2订(x) =x(x -1)2'i(x^(x-1)x22 23 2.H3(x) =(3-2x)x (x -1)x 二-x 2x2 2设P(x) =H3(X) A(x-X o) (X-X i)其中，A为待定常数7P(2) =1.P(x) - -X3 2x2 Ax2(x -1)21 2 2从而P(x) x2(x -3)24解法二：采用牛顿插值，作均差表:p(x) =p(X o) (X -X o)f[X o,X1] (X -X o)(X -xjf [X o,X1,X2](A Bx)(x-X o)(x -X1)(X-X2)=0 x x(x-1)(-1/2) (A Bx)x(x -1)(x-2) 第四章1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度：h⑴ h f(x)dx ： A 」f(-h) Af(O) Af(h)；-h ■2h(2) / f(x)dx ： A 」f(-h) A o f(O) Af(h)；1(3) J(x)dx ： [f(-1) 2f(xJ 3f(X 2)]/3;h 2⑷ 0 f(x)dx ： h[f(O) f(h)]/ 2 ah 2[ f (0) 一 f (h)];解：求解求积公式的代数精度时， 应根据代数精度的定义， 即求积公式对于次数不超过 m 的多项 式均能准确地成立，但对于 m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

h(1)若 (1)」f(x)dx ： A 」f (-h) A o f(O) A i f (h)令 f (x) =1，则 2h =A 二 A o A ,f (x) = x ，贝y o - -A d h Ah傀冷h1从而解得＜A=3hJh3h故 f(x)d^ A^f ^h) A D f (O) A^f (h) 成 立 。

h h 4 2 5jgdX./dX.h令 f (x) =x 3 , :f (x)dx = ：x 3dx =O A 」f(-h) A)f(O) A 1f (h^O 又由 所以 p (0) =0, p (1)=1，得2X 2A 」,B 亠4 4 f (x) =x 2，贝H 2h 3 3 二 h 2A 」h 2A 1A 」 令 f (x)二 xA/(-h) AJ(O) AJ (h) =2h53h故此时，t f (x)dx = A-f(—h) A)f (O) AJ(h)h故h f (x)dx ： A」f (-h) A0f(0) AJ (h)具有3次代数精度。

2h(2)若Nh f(x)dx ： A」f (_h) A0f (0) Af (h) 令f (x) =1，则4h A o A令f (x)二x，则0 二-A」h A1h令f (x) = x2，则16 h3= h2Aj h2 A3A0—4h8从而解得＜A=?h3A A=8h3令f (x) =x32h 2h 3s f(x)dx「』h xdx = 0A」f(-h) AJ (0) AJ (h) =02h故_2h f(x)dx = Ajf(-h) A)f(0) AJ(h)成立。

2h 2^ . 64 cf (x)dx x4 dx h5-2h 2h 5A」f (-h) Af(O) Af(h)二16*3令f (x)=x4，2h故此时，2山f(x)dx = A」f (-h) AJ (0) AJ(h)2h因此，f (x)dx ： Ajf(-h) AJ (0) Af (h) 具有3次代数精度。

1(3 )若4f(x)dx : [f(-1) 2f(x1) 3f (x2)]/ 31f(x)=1，则」(x)dx =2 =[f(—1) 2f (x1) 3f (x2)]/ 3f (x)二x，贝V 0 = T 2x「3x22 2 2f(x) =X2，贝y 2=1 2X1 3X2从而解得*八0.2899〔为=0.5266 或x^0.6899 x2= 0.12661 1令 f(x)=x 3，贝y f(x)dx=「x 3dx=0 [ f(—1)+2f(xJ + 3f (x 2)]/ 3式 01故d f(x)dx = [f^1) 2f(x 1) 3f(x 2)]/ 3不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。

h 2(4 )若 0 f (x)dx 常 h[ f(0) +f(h)]/2 +ah [f (0) — f (h)] h 令 f (x) =1，则 o f (x)dx 二 h, 令 f (X)二 X ，则 !h 22 1 2h[ f (0) f (h)]/ 2 ah [ f (0) - f (h)] h 2 令 f (x) =x 2，则h h 20 f (x)d^ 0 x dx1 3h[ f (0) f (h)]/ 2 ah [ f (0) - f (h)] h -2ah2故有1 . 3 1 . 3h h -2ah31a =123令 f (x) =x ，则h h 3 1 4o f (x)dx x dx h1 2 t t 14 14 14h[ f(0) f (h)]/ 2 h [ f (0) - f (h)] h h h12 2 4 4令 f (x) = x 4，则2h[ f(0) f (h)]/ 2 ah [ f (0) - f h 0 f(x)dx = h / 10xdx=1hh f (x)dx = o xdx =丄〔2. f15 15 15h[f(0) f(h)]/2存[f(0)—f(h)]s h寸它故此时,h1 2o f(xgh[f(0)讪2材[f (0)-f(h)], h1 2 因此， f (x)dx : h[f(0) f (h)]/ 2 h 2[ f (0) - f (h)]1012 具有3次代数精度。