反映Y（t1）与Y（t2）的相关性。
RY(t1，t2)大，则Y(t)变化平缓，可预见性大，
RY(t1，t2)小，则Y(t)变化剧烈，可预见性小。
4、功率谱密度（能量谱密度） 是RY(t1，t2)的傅氏变换，反映Y（t）中不同频率的能量。
j Sy ( ) R ( ) e d Y
用仿真方法获取随机变量的统计特性时，随机变量
只有有限个数值，此时，各统计特性的计算公式为：
均值：
均方值：
方差：
1 L E ( y) yi L i 1 1 L 2 2 E( y ) yi L i 1 L 1 2 2 y [ yi E ( y )] L 1 i 1

四、典型概率分布
1、均匀分布
概率密度：
p(y) = 1/(b-a)，a <= y <= b =0 P(y) = 0 =1 ，其他 ，y<=a ，y>b
a b y
概率分布函数：
= (y-a) / (b-a) ，a<y<=b 均值：E（y）= (a+b) / 2，
方差： σ2y = (b-a)2 /12。

五、随机过程的统计特性
平稳随机过程：统计特性不随时间变化。 各态历经平稳随机过程：一个样本函数的时间统计特性等 于随机过程 统计特性。 常见的随机过程都是各态历经的平稳随机过程，故可 用样本函数的统计特性来表征随机过程的统计特性。
1、均值：
E[ yk (t )] E[Y (t )] lim 1 T 0 yk (t )dt T T
1、输入输出的时域关系
x(t) h(t) y(t)
系统模型为脉冲响应函数h（t）
t y (t ) 0 h( ) x(t ) d
y(t)与x(t)为卷积关系
均方值：
E[ y 2 (t )]

t
0
h 2 ( ) Rx ( )d
表明输出的均方值与输入的自相关函数有关
2 2 t 2 E [ y ( t )] h ( )d 对白色随机过程： 0

二、基本概念
1、随机事件：可能发生，可能不发生的事件。
2、随机过程：随机系统状态变量和输出的变化过程。 这是一组曲线。既含有一次实验中x随t变化的过程， 也包含多次实验在相同时刻x的值。 3、样本函数：随机过程任一条状态变量或输出变量曲线。 {xi(t)}Li=1是随机过程。 xk(t)、x1(t)是样本函数 4、随机变量：某时刻的状态变量或输出变量称为随机变量。
4、均方值E（y2）与均方根sqrt（E(y2)）
2 E ( y 2 ) y p( y )dy
5、方差σ2y与方差根σy：表示随机变量偏离均值的程度。
方差又称二阶中心矩。 σ2y = E (y - E(y))2 = E(y2) - E2(y) σ2(y1+y2+…+yn)=σ2 (y1)+σ2 (y2)+…+σ2 (yn) 随机系统仿真的目的是获取状态变量、输出等的统计特性。
xi(t),i=1,...L 2.5
随机过程
2
x1(t) x2(t) xk(t) xL(t)
1.5
1
0.5
样本函数 随机变量
0
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t(s)
0.6
0.7
0.8
0.9
1

三、连续随机变量的统计特性
1、概率密度p(y)：每个y值发生的可能性。
p( y ) 0
4
6
8
10
概率分布函数：
y P( y )
68% p( y )dy 95% 99%
y 2 y 2 3 y 3
中心极限定理：正态概率分布随机变量可以用无数个任意分 布的相互独立的随机变量合成。 在工程上，可用10~12个互相独立的均匀分布合成一个正态 分布。
5、白色随机过程：
最简单的随机过程 最理想的随机过程 均值：E（yk）= 0，方差：σ2， 自相关函数：Ry(τ) = σ2δ(τ) 功率谱密度：Sy(ω ) = σ2，
R( τ)
σ2
相等，带宽无限。
白色随机过程的自相关函数及功率谱密度

六、随机过程作用下线性系统的响应
引言
按照原则，控制系统可分为确定性系统和随机系统两 大类。 确定性系统：系统参数、指令、干扰均为已知量 随机系统：系统参数、指令、干扰都是随机的 随机系统在一定条件下可以简化为确定性系统。 如果系统的一次行为不能代表多次运行性能，则该系 统不能简化为确定性系统，此时，必须按随机系统进行仿
真。
多数武器系统为随机系统。 随机系统仿真的目的是获取状态变量、输出等的统计特性。
p( y )dy 1
2、概率分布函数：变量值小于或等于y的随机变量的概率。
y P ( y ) p ( y ) dy
3、均值（一阶矩 / 数学期望）：E（y）
E ( y ) yp ( y ) dy
E(y1+y2+…+yn)=E(y1)+E(y2)+…+E(yn)
2、正态分布： 自然界中最常见的一种分布。又称高斯分布，钟形分布。 概率密度：
p( y ) 1
y
( y m) 2 exp[ ] 2 2 2 y
σ2y 为方差，m为均值。
0.14 0.12 m=0,sigma=3
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
yk(t)为样本，Y(t)为随机过程。 2、方差：
2 2 y Y lim
k
1 T 2 0 { yk (t ) E[ yk (t )]} dt T T
3、自相关函数：衡量随机过程功率强弱的尺度。
R yk (t1, t 2) RY (t1, t 2) RY ( ) lim 1 T 0 yk (t ) yk (t ) dt T T
7.1概率和随机过程

一、随机控制系统
(t ) ( A(t ) a) X (t ) ( B(t ) b) u (t ) X 系统模型： y(t ) CX (t )
若a、b为零阵，x0为已知确定值，则该系统为确定性系统。 若a、b、u（t）、x0均为不确定的，则该系统为随机系统。