c(w1, w2, y) = w1x1*(w1, w2, y) + w2x2* (w1, w2, y).
2020/11/8
中级微观经济学
14
成本最小化问题
给定w1, w2 和 y, 如何确定最小成本的投入 组合1、2的位置？ 厂商的总成本函数如何计量?
比较消费者理论中的消费者最优选择问题！
（第5章）
11
成本最小化问题 （The Cost-Minimization Problem）
考虑用两种要素生产一种产品的厂商。 厂商的生产函数为
y = f(x1,x2). 其中 y 0是给定的。 假定投入品价格 w1 、 w2 是给定的。则投 入组合的成本为w1x1 + w2x2.
2020/11/8
中级微观经济学
2020/11/8
中级微观经济学
29
成本最小化
Cobb-Douglas 的例子
一个具有 Cobb-Douglas 生产技术厂商的生 产函数为
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 厂商的有条件的要素需求函数是什么?
2020/11/8
中级微观经济学
w2 x2.
一阶条件是：
p
f
( x1*, x1
x2 *)
w1
0.
p
f
(x1*, x2*) x2
w2
0.
2020/11/8
中级微观经济学
5
对于C-D函数 f (x1, x2 ) x1a x2b
利润最大化问题是：
max x1, x2
px1a x2b
w1x1
w2 x2
一阶条件是：
pax1a1x2b w1 0
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
2020/11/8
中级微观经济学
33
成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
由(b)可得,
x*2
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
代入(a)得：
y
(x*1
)1/
3
2w1 w2
x*1
2/3
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
2020/11/8
中级微观经济学
19
等产量线
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
2020/11/8
f(x1,x2) y’ x1
中级微观经济学
20
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
30
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
y y
/ /
x1 x2
(1 / 3)(x*1 )2/3(x*2 )2/3 (2 / 3)(x*1)1/3(x*2 )1/3
所以
x*1
2ww21
2/
3
y
是厂商对于投入要素1的
条件需求函数。
2020/11/8
中级微观经济学
35
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
由于 且
x*2
2w1 w2
x*1
x*1
w2 2w1
2/3
y
则
x*2
2w1 w2
w2 2w1
2/ 3
y
2w1 w2
1/ 3
y
是厂商对于投入要素2的条件需求函数。
L w1x1 w2 x2 ( f (x1, x2 ) y)
对x1, x2 , 求导, 得到一阶条件:
w1
f
( x1 , x1
x2 )
0
w2
f
(x1, x2 ) x2
0
f (x1, x2 ) y 0
整理,并用第一个方程除以第二个方程, 就可以得到:
w1 f (x1, x2 ) / x1 w2 f (x1, x2 ) / x2
x*2
y y
2020/11/8
x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
中级微观经济学
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
42
要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy 投入 2的条件需求
y
x*2
y y
y y
y
2020/11/8
x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
中级微观经济学
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
41
要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy
y
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
产出扩展线
y y
y
yy
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
yy x*2(y)
x*2
y
y y
y
2020/11/8
x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
中级微观经济学
x*1 ( y )
x*1
39
要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
yy x*2(y)
x*2 ( y )
x*2
y y
(b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
即
在( x1*,
x2* )，
w1 w2
TRS
MP1 MP2
x2*
f(x1,x2) y’
x1*
x1
2020/11/8
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27
成本最小化问题
相切条件的推导方法）： 1、直接代入法 2、拉格朗日法
2020/11/8
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28
min x1, x2 w1x1 w2 x2 s.t. f (x1, x2 ) y 建立拉格朗日函数:
2020/11/8
f(x1,x2) y’ x1
中级微观经济学
21
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
2020/11/8
f(x1,x2) y’ x1
中级微观经济学
22
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
2020/11/8
f(x1,x2) y’ x1
1/3 y
.
2020/11/8
中级微观经济学
37
要素的条件需求曲线
（Conditional Input Demand Curves） x2 w1 、 w2不变
y y
y
x1
2020/11/8
中级微观经济学
38
要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
w1x1 w2x2 c
重新排列得到
x2
w1 w2
x1
c w2
.
等成本线的斜率为- w1/w2,,纵截距为c/w2.
2020/11/8
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17
等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
2020/11/8
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18
等成本线
x2
斜率 = -w1/w2.
x*2 2x*1
.
2020/11/8
中级微观经济学
31
成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
2020/11/8
中级微观经济学
32
成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
由(b)可得,
x*2
中级微观经济学
23
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
2020/11/8
中级微观经济学
24
成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f (x*1, x*2 ) y
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
2020/11/8
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25
成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f (x*1, x*2 ) y 且
(b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
2020/11/8
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26
成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f (x*1, x*2 ) y 且
20 成本最小化
Cost Minimization
2020/11/8
中级微观经济学
1
本章要点
成本最小化 规模报酬和成本函数 长期成本和短期成本
关键词：成本函数
2020/11/8