Yi M 1jM 1Yij,
yi m 1jm 1yij
总体和样本按二级单元的平均值:
1 N
YNi1Yi,
1n
yni1yi
总体和样本初级单元间的方差:
S12 N11iN 1(Yi Y)2,
4、多阶段抽样可用于散料的抽样.
所谓散料是指连续松散的不易区分为个体或 抽样单元的材料.如:矿石、煤、粮食、水泥、 化肥等等。
例如:对贮藏在仓库中的小麦中农药残留量 的监测.
首先，从仓库中抽若干麻袋
然后，再从每个抽中的麻袋中的不同部位抽取一 定数量的小麦样品（称为份样）进行测试。
三、抽选方法与推断原理
此时两阶抽样中的每一阶都可采用简单随机 抽样：第一阶抽样从总体N个初级单元中抽 取n个初级单元，第二阶抽样则是从每个被 抽中的初级单元（设每个包含M个次级单元） 中抽取m个次级单元。
假定：在抽中的若干初级单元中作第二阶抽 样是相互独立地进行的。
一、符号说明
初级单元的个数:N
二级单元的个数:M
性质1可) V(ˆ) V1[E2E3(ˆ)]E1{V2[E3(ˆ)]} E1E2[V3(ˆ)]
第二节 初级单元大小相等的二阶抽样
一、符号 二、总体均值的估计量及其性质 三、关于总体比例的估计
引：本节先讨论初级单元大小（即所包含的 次级单元数目）相等情形的二阶抽样。
三、多阶段抽样的特点及作用
1、实施方便，节省费用
保持了整群抽样的优点,即由于样本比较集中,便于调查、节省 费用;.
2、对抽中的次级单元进行再抽样，提高了效率
多阶段抽样能充分发挥抽样的效率，克服了整群抽样的缺点,即 避免了对小单元过多调查造成的浪费。
3、抽样框编制得以简化
多阶段抽样是分阶段实施的，因此抽样框也可以分 级进行准备：在第一阶抽样中，仅需准备总体中关 于初级单元的抽样框；在第二阶抽样中，仅需对那 些被抽中的初级单元准备二级单元的抽样框。更高 阶的也是如此，每次只需要对被抽中的单元准备下 一级抽样单元抽样框。
它的最大缺点是由于群内小单元存在一定程度 的相似性（群内相关系数大于0），其抽样误 差高于同样样本量的简单随机抽样。
事实上，在多数情形，特别是当群的规模比较 大时，确实没有必要对群内所有次级单元都进 行调查。因此很自然地想到可以对每个被抽到 的群中的次级单元再次进行抽样。
二、多阶段抽样的定义及其与其他抽样的关系
（一）二阶段抽样
设总体由N个初级单元组成，每个初级单元又 由若干二级（次级）单元组成，若在总体中按 一定方法抽取n个初级单元，对每个被抽中的 初级单元再抽取若干二级单元进行调查，则这 种抽样称为二阶抽样，或二级抽样（two-stage sampling）
在二阶抽样中，全部抽样是分两步实施的：
第一步是从总体中抽初级单元，称为第一阶抽样；
在社会经济调查中，多阶抽样常用于抽样单元 为各级行政单位的情况。例如，在一项全国性 调查中，往往将省、地市、县、街道（乡、 镇）、居（村）民委员会、居（村）民小组及 住户作为各级南样单元。在此，采用多阶段抽 样显然十分方便。
再如，在一个城市中，可以将区作为其中一级 单元，也可直接将街道作为一级单元；可以将 居委会作为街道下一级的单元，也可以将居民 小组作为街道下一级的单元。
多阶段抽样每一阶段的抽样可以相同,也 可以不同,它通常与整群抽样、分层抽样、 系统抽样结合使用.
实际工作中，多阶段抽样通常与整群抽 样结合使用，即前几阶是多阶段抽样， 最后一阶为整群抽样。
多阶段抽样时,抽样是分步进行的,因此, 讨论估计量 ˆ的均值及方差时需要分阶段 进行,则用到下面的性质:
第九章 多阶段抽样
第一节 引言 第二节 初级单元大小相等的二阶抽样 第三节 初级单元大小不相等的二阶抽样 第四节 其他问题
第一节 概述
一、概述 二、多阶段抽样的定义及其与其他抽样的关系 二、多阶段抽样的特点和作用 三、抽选方法与推断原理
一、引言
采用整群抽样的主要理由是整群样本比较集中， 实施便利，每个基本单元的调查费用较低。
（二）多阶段抽样与其他抽样的关系
整群抽样可以看作是多阶段抽样的一种特殊情 形，即最后一阶抽样是100%的抽样。
分层抽样也可看作是多阶抽样的特例：此时每 个初级单元即是层，第一阶抽样是100%抽样， 而层内抽样是第二阶抽样。当然，层内抽样本 身也可能是多阶的。
在多阶段抽样中，各阶抽样的方法可以采用简 单随机抽样，也可以采用放回或不放回的不等 概抽样，或者用系统抽样。
第一阶段和第二阶段的样本量:n,m;
第i个初级单元中第j个二级单元的观测 值:Yij(i=1,2,…N；j=1,2,…M)
样本中第i个初级单元中的第j个二级单元的观测 值:yij(i=1,2,…n；j=1,2,…m)
第一阶段和第二阶段的抽样比:
f1
n, N
f2
m M
总体和样本中第i个初级单元按二级单元的平均 值:
性质1 对于两阶段抽样,有
E(ˆ)E（ 1 E2(ˆ)） V(ˆ)V1[E2(ˆ)]E1[V2(ˆ)]
• 式中,E2、V2为在固定初级单元时对第 二阶抽样求均值和方差;E1 、 V1为对第 一阶抽样求均值和方差.
上述1式是显然的。
2式证明如下：
V() E(ˆ2) [E(ˆ)]2 E1[E2(ˆ2)]{E1 [E2(ˆ)]}2 E1[E2(ˆ2)]{E1[E2(ˆ)]2 V1[E2(ˆ)]} V1[(E2(ˆ)]{E1[E2(ˆ2) E1[E2(ˆ)]2} V1[E2(ˆ)] E1[V2(ˆ)]
第二步是从每个被抽中的初级单元中抽二级单元， 称为第二阶抽样。
如果每个二级单元又由更小的三级单元 组成，那么第二阶抽样后，若对每个被 抽中的二级单元中的三级单元再进行抽 样，则是三阶抽样。
如果对每个被抽中的二级单元不再抽样， 调查其中每个三级单元，则称为二阶整 群抽样。
以此类推，可定义更高阶的多阶抽样 （multi-stage sampling）或多阶整群抽 样（multi-stage cluster sampling）。