b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ
使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a、b、c不共面，
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面， ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
ABCD，AD⊥AB，所以可设
→ DA
＝e1，A→B
＝e2，A→P
＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2) ＝－12e1＋12e3，
所以M→N＝－12，0，21，D→C＝(0,1,0)．
3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)， 求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
答案：(－1,4，－1)
1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底．
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
B→F、B→E、A→E、E→F.
答案：B→F＝－12a－12b＋12c； B→E＝－a－12b＋12c； A→E＝－a＋12b＋12c； E→F＝12a.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量
→ MN
、D→C
的坐标．
解析：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
答案：C
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表 示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表 示
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a
B．b
方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一
定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
→ OP
＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，
使得___p_＝__xe_1_＋__y_e_2＋__z_e_3__，把x，y，z称作向量p在单位正交
基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(_x_，__y_，__z_) .
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )来自A．1个B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
3．如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么 这个基底叫做________．
1．p＝xa＋yb＋zc
2．{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量
3．正交基底
4．设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的
单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共
起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量的基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得__________．
2．若三向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可 由a，b，c线性表示，所有空间向量组成的集合就是 ______________________，把{a，b，c}叫做空间的一个 __________，a，b，c叫做________．
8．四点共面：对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C， 若 P、A、B、C 四点共面， 则：
(1)A→P＝xA→B＋yA→C，(x，y∈R) (2)O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C(x，y∈R)； (3)O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)．
1．下列命题中真命题的个数是( C ) ①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示