2
0
1
1 x 2 1 ( x ln ) ln 3 1 x 0 2
6. 求曲线 ρ 2(1 cos ) 的全长。
s a
2
0 2
2 ( ) 2 d
2
0
a 2 (1 cos ) 2 ( a sin ) 2 d
4．有一立体以抛物线 y 2 x 与直线 x 2 所围成图形为底，而垂直于抛物线轴的截面
2
都是等边三角形，求其体积.
A( x)
3 (2 y ) 2 3 y 2 2 3 x 4
2 2 1 0 0 0
V A( x)dx 2 3 xdx 3 x 2 3
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5. 求曲线 y ln(1 x ),
2
0 x
1 的弧长。 2
1 1 1 2 x 2 4x2 2 s 2 1 ( y) 2 dx 2 1 ( ) dx 1 dx 0 0 0 1 x2 (1 x 2 ) 2
2
0
1
1 (1 x 2 ) 2 4 x 2 (1 x 2 ) 2 2 dx 0 (1 x 2 )2 dx (1 x 2 ) 2 1 1 1 x2 2 1 1 2 2 dx ( 1 ) dx (1 )dx 2 2 0 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1
a 2 (3 cos t ) 2 a (1 cos t )dt 8 2 a 3 a 3 (3 cos t ) 2 (1 cos t )dt 8 2 a 3
0 29 15cos t 7 cos 2 t cos3 t )dt 8 2 a 3
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习题 6-2
2
定积分在几何学上的应用（二）
1. 求曲线 y x , x 0 及其在（1，1）点的法线与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所得 的旋转体的体积。
y 2 x y
x 1
2 k法
1 2
所以，法线方程为： y 1
1 1 3 ( x 1) 即 y x 2 2 2
2
4 ，且使该图形 9
绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. （1）通过点（0, 0） ，所以， c 0
a 3 b 2 a b 4 （2） ( ax bx) dx ( x x ) 0 3 2 3 2 9 0
1 2
1
a
4 3 b ……………………………………………………① 3 2
3a | sin t cos t | dt 12a 2 sin t cos tdt
0 0

(6a sin 2 t ) 2 6a
0

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1 1 2 2
a 2 5 ab 4 b 2 3 a 2 ab b 2 （3） V ( ax bx) dx ( x x x ) 0 5 2 3 5 2 3 0
将①代入得到， V
16 2 1 b b2 45 15 30
2 1 b0b2 15 15 1 V (b) 0 15 V (b) b 2 时， V 最小，此时， a 5 3
3 2
3
2 ． 求 摆 线 x a (t sin t ), y a (1 cos t )(a 0) 的 一 拱 与 y 0 所 围 成 的 图 形 绕
y 2a 旋转所得旋转体的体积. V
2 0 2 a
0
[ y ( x) 2a ]2 dx 2 a (2a ) 2
25 2 a 3 8 2 a 3 17 2 a 3
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3．设抛物线 y ax bx c 通过点（0, 0） ，且 0 x 1 时， y 0 ，试确定 a, b, c 的
2
值，使得抛物线 y ax bx c 与直线 x 1, y 0 所围成的图形的面积为
2
0
2 2 cos d 2a sin
0

2
d
(4a cos ) 8a 2 0

2
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7．计算星形线 x a cos t , y a sin t 的全长。
3 3
s
2
0 2
(
2 dx 2 dy 2 ) ( ) dt (3a cos 2 t sin t ) 2 (3a sin 2 t cos t ) 2 dt 0 dt dt
法线与 x 轴的交点为 (3, 0) ，所以，旋转体体积为：
1 3 1 1 3 3 V ( x 2 ) 2 dx ( x ) 2 dx x 4 dx ( x 2 6 x 9)dx 0 1 0 2 2 4 1


5
1
x
5 0

1
2 13 ( x 3x 9 x) 4 3 5 3 15 1