1填空题
［解答］犁（对=2-亍，令”5=0，可得注二;
当0
-时，严工；0＜：0,
〕单调递减.
4
所以 F （町的单调递减区间是 （Q-）或（4才］.
⑵曲线丿★—与其在r 处的切线所围成的部分被.轴分成两部分，这两部
分面积之比是
日n 2 2 尸3 27
2 2
两直线的交点可求得
=
—，即求解27护- 9穿+ 2 = 0
方法一：已知其一根为勺二齐设方程为 （T -
J 十 = 0
通过比较可得 盘二27,占=2 C = —6，可解得另外一根为 E =-彳
方法二：分解方程有
27卞弓—了誥―6斗+ 2= 0
弘+
2(3JT-1)=0
(我-1)〔弘2 -3H -2) = 0 即
(软-ly (致+ 2) = 0
所以
= (；［(*- ©+(红+厶］必=P^(Z^-iT+—)^X= — ］
4
3
27
4 3 27 27
A 弘―亠◎诗吩農
则虽仝 & 1
⑶设/（工）在［一兀兀］上连续，当门=_时，片何訂［于⑺―毗C ■旳讦必取最 小值.
［解答］L/S) -口 COSM 阳;r
=[[f^(X)- 2(^(X)COE + cP CCS^ ^jr](2/z J-J
=I
2&J /(jc) cosKxdx + J coE^ MZtiz
令F3=Q ，则
［解答］直线方程为
⑴函数片何=
（工＞ 0）的单调减少区间
__
2『/(JT)匚0$/3兀C/Y二2口J COS，戶jcdx
J /(TT)cos松兀国兀=2(3] UOE'MJT心=12(1 + cos 2?ix)dyi = aTT
1
所以
a =—了〔X J COSMK M X
⑷+ b三a°绕疋=-i (& ＞说＞O旋转所成旋转体体积—
[解答]令:= a = asin 0，则
当A ＞0时，
卩I =TTp (z + 占)2 如
=/r[[ (/ cof 妒+ 2i3buo汐+护加cos 饵© = jr(£/ + f 口°血十2脑)
I 3 2
当X €0时，
空 4 X
=可,(说'gJ G CM 沖竝畢-汀(-—+—/力-2^护)
所以
2
卩平-比=4J血珅+2肿)
JT
⑸ 求心脏线p = 4(l + cos^和直线3 = 0及日=-围成的图形绕极轴旋转所成旋转体
£-a
体积
［解答］将极坐标化为直角坐标形式为X =4(1+ cos, y= 4(1 + cc>s^)sin & 则血=即抵=64/7(1 + cos 軒 gmS •[-血0 cog 却一(1 + cos sin 吕弹0 =&47r(l + cos + 2 cos siti^ 田吕
所以卩-斜可;(1 + cg&)气I + 2 &)(1 - GG/&)詞(g30) (x= 3S&)
二64可；(1 + T)\l + 2x)(1- P沖
=64 巴fci +讦(1 + 2町(1—町必 (f = l + x)
=也兀Q 广一站-2?）； =1607r 2.计算题
⑴ 在直线 卞一y+l=O 与抛物线 》二疋2-4工+ 5的交点上引抛物线的法线， 求由两法线 及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 ［解答］由题意可计算两法线的方程为
尸一2二一（工一1）,即卩恵一2卩+3=0
匚
/-5 = --(jc-4)，l 卩 x + 4y-24=0
9
壮，则 … 卢
K + 3. ,
.24-
Fs+l -丁如[(〒 1 f 4 1 rS
.
= -[b —1)必 +aJjlS-3；C 血
_ 15
-- 斗
丿=一;^'+4工一 1所围成的面积最小.
［解答］直线的斜率 k = 2x=2a ，则直线方程为
即 工'+（2盘一 4）jr + l-/二0，设方程的两根为 且天［也，则
片］+兀2 = 4 - 2口， 町殆=1 - 从而
X] — 尤]=+ 尤2尸 一4天1兀2 = 2J2屮-Aa-^3
工；-看二（兀-工1）（乂2 +兀J = 4（2 -小4加-4盘+3
£ 二［'（一兀‘十4兀 一 1一 2心十二 f
一 1 一 J?十（4 一
=—』2(^ ' — 4C 3(十 了 • (2，_ 斗£2 + 3)
4
2
二-(时-4卫 +3)1
两直线的交点为 ⑵ 过抛物线 护=兀2上的一点 血&2］作切线,
问 曲为何值时所作的切线与抛物线
y-以二2口 （x-a ），与抛物线相交,
E
（呛-4）=0
卩=2开|：开（7? - 2点一 血十衍L 巩F 一 F 十2力必
又 2^2—41 + 3> 0,所以 A =
⑶求通过点〔口）的直线F = #（工）中使得畑环 为最小的直线方程. ［解答］设y-1 =七（盂-1）,贝y 卩=/（盂）=£i + l-七=七盂+£
则 rnW 訂:［/—了W 卩必二J ：［/ —严
2
=［［十 一 2£严 +〔P - 2巧 J + 2^加 + a 的 号？ R
=丁一號+亍（沪一2办）+ 4妊+ 2护
斗7一軒匕严
⑷求函数了⑴=］；（U 必 的最大值与最小值 ［解答］f ⑴=2尢（2-内昇■令n ，可得同
尸0） = 2（2- 3押）茁* 一4心-齐"
当x = C 时，/%0）:＞0，即/（畫）在z = 0取最小值，此时 /（R = 0 当"忑时，/"（血）=-牝J 丈0，即/（舟在"忑取最大值
此时/（砧=（（2-0尹处"十/ ⑸ 求曲线y " - 2x 与y" 所围阴影部分面积 & ,并将此面积绕
歹轴旋转所构成
的旋转体体积，如图所示.
Q ?
［解答］S = J 1（丘一 2A - ”）必十［（，一 F 十2五乂兀
，宀討町-”=誇
3=1 — 土）
由叫円可得亠呼一心。
即
4^7 = 8可得 jt = 2
又F”（x ）＞0则当i = 2时FC ＞）为最小，此时 y （K ）方程为 /⑴=2
兀-1
=环兰-竺-兰几+顷亡-兰+空M y 3 4
心'4 5 3 用
163
= --- TT
30
⑹ 已知圆（—时+/ =厲2，其中bx 沁，求此圆绕丁轴旋转所构成的旋转体
体积和表面积.
［解答］令y = d sin 6，如图所示，则
耳=］：汨@ + —才尸今—］：吧& - JF -于）2®=町治- ySy =加&空-b今
g=£ 沁-妙
二討心
+£ 沁+3-■/『ji+（j
=S JTZ Z J P -------- df cos =4应1 沪
a皿召
⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，
① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？［解答］抛物线方程为工=討，则在水下龙至U A + 这一小块所受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
此=$必=1920
若下沉/，此时受到的静压力为
耳二亂（6十叫护= 16®十1920 要使耳=2片，解得/ = 12.
②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？
［解答］建立如图坐标系，则抛物线方程为齐=2于，则在水下芜到x+必这一小块所
9
受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
时Y■皿心哼「环送『存血
= 3200-1920 = 1230
若下沉/，此时受到的静压力为
曷=(20+；= 16Q/+12S0
要使马=2好，解得f = S.。