且
，则
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3
又 ⑶ 求通过点 [ 解答 ] 设
则
，所以
的直线
中使得
，则
—
为最小的直线方程 .
由 又 ⑷ 求函数 [ 解答 ]
可得 则当
即
可得
时
ห้องสมุดไป่ตู้为最小，此时
方程为
的最大值与最小值 .
令
，可得
当
时，
，即
在
取最小值，此时
当
时，
，即
在
取最大值
此时
.
⑸ 求曲线
与
的旋转体体积，如图所示 .
[ 解答 ]
所围阴影部分面积
若下沉 ，此时受到的静压力为
要使
，解得
.
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这一小块所受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为 若下沉 ，此时受到的静压力为
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5
—
要使
，解得
.
② 若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力 加倍？
[ 解答 ] 建立如图坐标系， 则抛物线方程为
，则在水下 到
这一小块所受
的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
1．填空题 ⑴ 函数
的单调减少区间 __
[ 解答 ]
，令
，可得
当
时，
，
单调递减 .
所以
的单调递减区间是
或
.
⑵ 曲线 分面积之比是 __ [ 解答 ] 直线方程为
与其在
处的切线所围成的部分被
轴分成两部分，这两部
，即
，
两直线的交点可求得
，即求解
方法一：已知其一根为 通过比较可得
，设方程为 ，可解得另外一根为
与抛物线
及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 . [ 解答 ] 由题意可计算两法线的方程为
，即
两直线的交点为
，即 ，则
的交点上引抛物线的法线， 求由两法线
⑵ 过抛物线
上的一点
作切线，问
所围成的面积最小 .
[ 解答 ] 直线的斜率
，则直线方程为
即
，设方程的两根为
，
从而
为何值时所作的切线与抛物线
，与抛物线相交，
，并将此面积绕
轴旋转所构成
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4
—
⑹ 已知圆 体积和表面积 . [ 解答 ] 令
，其中 ，如图所示，则
，求此圆绕 轴旋转所构成的旋转体
⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中， ① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？
[ 解答 ] 抛物线方程为
，则在水下 到
方法二：分解方程有
即 所以
则
⑶设
在
小值 .
[ 解答 ]
上连续，当
＿时，
取最
—
令
，则
即
所以
⑷
绕
[ 解答 ] 令
当
时，
旋转所成旋转体体积 __ ，则
当
时，
所以
⑸ 求心脏线
和直线
及
围成的图形绕极轴旋转所成旋转体
体积 __
[ 解答 ] 将极坐标化为直角坐标形式为
，
则
所以
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2
—
2．计算题 ⑴ 在直线