指数计算与指数函数一．选择题（共11小题）1．已知2x＞21﹣x，则x的取值范围是（）A．R B．x＜C．x＞D．∅2．运算的结果是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上都不正确3．化简的结果是（）A．a2B．a C．D．4．已知，则的值是（）A．3 B．5 C．7 D．95．函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）•f（y）B．f（x+y）=f（x）•f（y）C．f（xy）=f（x）+f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）6．若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7 B．10 C．12 D．347．函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，则a的值为（）A．1 B．3 C．2 D．1或38．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b9．已知函数f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（3，1），则f（x）的值域为（）A．[4，16] B．[2，10] C．[，2]D．[，+∞）10．函数f（x）=的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]11．已知全集U=R，集合，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4} D．{x|0≤x＜2或x＞4}二．填空题（共11小题）12．=．13．计算：=，8=．14．计算：（）﹣1+（）0﹣9=．15．若10x=3，10y=4，则10x+y=．16．计算：的值是．17．×÷=．18．函数的单调增区间为．19．函数的值域为．20．函数y=2+a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点，它的坐标为．21．若函数f（x）=2x的值域是[4，+∞），则实数x的取值范围为．22．函数的单调递增区间是．三．解答题（共8小题）23．计算：．24．计算（1）log54•log65+log69（2）（3）解不等式：x2+（a﹣3）x﹣3a＞0．25．已知函数f（x）=a x（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．26．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．27．已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．28．已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．29．已知函数y=2|x|，x∈R（1）作出其图象；（2）说出其单调减区间、奇偶性、最大值、最小值．30．已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）设t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知2x＞21﹣x，则x的取值范围是（）A．R B．x＜C．x＞D．∅【解答】解：2x＞21﹣x，可得x＞1﹣x，解得x＞．故选：C．2．（2016秋•肃州区校级期中）运算的结果是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上都不正确【解答】解：==3，故选：A3．（2015秋•枣庄期中）化简的结果是（）A．a2B．a C．D．【解答】解：==，故选C．4．（2013秋•鹿城区校级期中）已知，则的值是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：∵，∴=，∴=7．故选：C．5．（2016秋•邹平县期中）函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）•f（y）B．f（x+y）=f（x）•f（y）C．f（xy）=f（x）+f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）【解答】解：由函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1），得f（x+y）=a x+y=a x•a y=f（x）•f（y）．所以函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）•f（y）．故选B．6．（2017春•东莞市校级月考）若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7 B．10 C．12 D．34【解答】解：2x+y=2x•2y=3×4=12，故选：C．7．（2016秋•仙桃期末）函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，则a的值为（）A．1 B．3 C．2 D．1或3【解答】解：由题意得：，解得：a=2，故选：C．8．（2017•和平区模拟）若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．9．（2016秋•辛集市期末）已知函数f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（3，1），则f（x）的值域为（）A．[4，16] B．[2，10] C．[，2]D．[，+∞）【解答】解：因为函数f（x）=2x﹣b的图象经过点（3，1），所以1=23﹣b，则3﹣b=0，解得b=3，则函数f（x）=2x﹣3，由2≤x≤4得，﹣1≤x﹣3≤1，则2x﹣3≤2，所以f（x）的值域为[，2]，故选C．10．（2016•海淀区一模）函数f（x）=的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，即为2x≥1，解得，x≥0，则定义域为[0，+∞）．故选A．11．（2016•鹰潭一模）已知全集U=R，集合，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4} D．{x|0≤x＜2或x＞4}【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，∴∁U B={x|x＞4或x＜2}，即A∩（∁U B）={x|0≤x＜2或x＞4}，故选：D．二．填空题（共11小题）12．（2016秋•昌平区校级期末）=4．【解答】解：=+1+=+1+=4，故答案为：4．13．（2016春•湖州期末）计算：=5，8=27．【解答】解：==5，8==27，故答案为：5，27．14．（2016秋•响水县校级月考）计算：（）﹣1+（）0﹣9=0．【解答】解：（）﹣1+（）0﹣9=2+1﹣3=0．故答案为：0．15．（2016秋•延川县校级期中）若10x=3，10y=4，则10x+y=12．【解答】解：∵10x=3，10y=4，则10x+y=10x•10y=3×4=12．故答案为：12．16．（2015秋•益阳校级期中）计算：的值是．【解答】解：原式==2﹣4=．故答案为．17．（2017春•长汀县校级月考）×÷=．【解答】解：原式=×÷=××=，故答案为：18．（2016秋•江阴市期中）函数的单调增区间为[2，+∞）．【解答】解：令t=﹣x2+4x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，则f（x）=，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞），故答案为[2，+∞）．19．（2016秋•阜宁县期中）函数的值域为（0，] ．【解答】解：∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1∴函数的值域为（0，]故答案为：（0，]20．（2015秋•大庆校级期末）函数y=2+a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点，它的坐标为（2，3）．【解答】解：令x=2，得y=a0+2=3，所以函数y=2+a x﹣2的图象恒过定点坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）21．（2016春•杭州期末）若函数f（x）=2x的值域是[4，+∞），则实数x的取值范围为[2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=2x，在定义域内为增函数，∴2x≥4，∴x≥2．∴实数x的取值范围为[2，+∞）故答案为：[2，+∞）．22．（2015秋•虹口区校级期末）函数的单调递增区间是（﹣∞，0] ．【解答】解：函数的单调递增区间，即函数y=|x|的减区间，而函数y=|x|的减区间为（﹣∞，0]，故答案为：（﹣∞，0]．三．解答题（共8小题）23．（2009秋•杭州月考）计算：．【解答】解：==24．（2014秋•惠来县校级期中）计算（1）log54•log65+log69（2）（3）解不等式：x2+（a﹣3）x﹣3a＞0．【解答】解：（1）原式=．（2）原式=．（3）原式可化为：（x﹣3）（x+a）＞0．①当a=﹣3时，化为（x﹣3）2＞0，解得x≠3，此时不等式的解集为{x|x≠3}；②当a＞﹣3时，解得﹣a＜x＜3，此时不等式的解集为{x|﹣a＜x＜3}；③当a＜﹣3时，解得3＜x＜﹣a，此时不等式的解集为{x|3＜x＜﹣a}．25．（2017春•黄陵县校级月考）已知函数f（x）=a x（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a x（x≥0）的图象经过点（2，），∴=a2，∴a=；（2）由（1）知f（x）=（）x，∵x≥0，∴0＜（）x≤（）0=1，即0＜f（x）≤1．∴函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，1]．26．（2016春•济南期末）已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=a x得a﹣2=9，解得a=，∴f（x）=（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，∴f（2m﹣1）＜f（m+3），∵f（x）=为减函数，∴2m﹣1＞m+3，解得m＞4，∴实数m的取值范围为（4，+∞）27．（2014•奎文区校级模拟）已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．【解答】解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x 轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，y miin=0．28．（2015秋•灌南县校级月考）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．【解答】解：（1）由题意：函数f（x）=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．则有：解得：．（2）由（1）可知，那么：函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8=﹣4+8∵x∈[﹣2，1]∴则，当，即x=﹣2时，f（x）max=53．当，即x=时，f（x）min=4所以函数的值域为[4，53]．29．（2014春•宁强县校级期中）已知函数y=2|x|，x∈R（1）作出其图象；（2）说出其单调减区间、奇偶性、最大值、最小值．【解答】解：（1）函数y=2|x|，x∈R的图象由函数y=2x，经过一次横向的对折变换得到，故其图象如下图所示：（2）由（1）中函数图象可知：函数y=2|x|，x∈R单调减区间为：（﹣∞，0）、函数图象关于y轴对称，故为偶函数、无最大值、最小值为1．30．（2016秋•仙桃期末）已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）设t=3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）设t=3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t=3x在[﹣1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．（2）由f（x）=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为t=1，且≤t≤9，故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，当t=9时，函数f（x）有最大值为67．。