指数运算与指数函数一、知识点1、根式得性质(1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念（1）正整数指数幂:(2)零指数幂 (3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂（6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义3、有理指数幂得运算性质(1) (2)（３)4、指数函数定义:函数叫做指数函数。

0 ＜a < 1 a > 1图象性质定义域Ｒ值域（0 , +∞）定点过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1（1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。

（2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０<y< 1;当x< 0时,y>1。

单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数对称性与关于y轴对称(1）①②③④则:0<ｂ<a＜1<d<ｃ又即:x∈(０，+∞)时， (底大幂大)x∈(－∞,0)时,（2）特殊函数得图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、四、典型例题类型一、指数函数得概念例1、函数就就是指数函数,求得值、【答案】2【解析】由就就是指数函数,可得解得，所以、举一反三:【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?(1);（2)；(3）；(4);(5);(6)、【答案】(1)（５)(6）【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、类型二、函数得定义域、值域例2、求下列函数得定义域、值域、（1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数)【答案】(１)R,(0,1);（2)R [);（3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞)【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1,∴ , ∴ ,∴ , ∴值域为(0，1)、(2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、(3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、（4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞),又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、举一反三：【变式1】求下列函数得定义域:(１) (2)(3) (4)【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0<a<1时，【解析】（1)R（2)要使原式有意义,需满足３-ｘ≥０,即，即、(3）为使得原函数有意义，需满足2ｘ-1≥０,即２x≥1,故x≥0,即(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;０<a<１时,、【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、类型三、指数函数得单调性及其应用例3、讨论函数得单调性，并求其值域、【思路点拨】对于x∈R,恒成立，因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、【答案】函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间［１，＋∞)上就就是减函数 （０,3]【解析】解法一:∵函数得定义域为(-∞,＋∞),设ｘ1、x ２∈(－∞,+∞)且有x １<ｘ2， ∴,, 、（１)当x 1＜ｘ２＜1时,x １+x 2＜2,即有x 1＋x ２－2＜0、 又∵x 2-x 1＞0，∴(x ２―x １）(x ２+x 1―2)＜0,则知、 又对于ｘ∈R,恒成立，∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、(2)当1≤x 1<ｘ２时,x 1+ｘ2＞２,即有x １+x 2-２>0、 又∵x ２-x 1＞0,∴(x 2―x 1）(x 2+ｘ1―2)＞０,则知 、∴、∴函数在[1,＋∞)上单调递减、综上,函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间[１,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2ｘ＝(x ―1)2―１≥-１,,、 ∴函数得值域为(0，３］、解法二:∵函数得下义域为R,令ｕ＝ｘ2-２x,则、∵u=x ２―２x ＝(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数，在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,１］内为增函数、又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，＋∞)上就就是增函数，∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、值域得求法同解法一、【总结升华】由本例可知，研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有：即当a ＞1时，得单调性与得单调性相同;当0＜a ＜1时，得单调与得单调性相反、举一反三：【变式1】求函数得单调区间及值域、【答案】上单增,在上单减、【解析】[1]复合函数——分解为:ｕ＝-x 2＋３x －2, y=3ｕ；[２］利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [３]求值域、设u=－x 2＋3x-２, y=３u，其中y ＝3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2+３x-2在上单增,u=-x ２+3x-2在上单减， 则在上单增,在上单减、又u=-x 2+3x －2， 得值域为、 【变式2】求函数得单调区间、【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=ｘ2-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数；当０<ａ<1时,外层函数ｙ＝ａu 在上为减函数,内函数u ＝x 2-2ｘ在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、例4、证明函数在定义域上为增函数、【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。

【解析】定义域为xR,任取ｘ1<x ２,12121212121211(1)(1)(1)(1)()()11(1)(1)x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a ---+-+--=-=++++、∵, ∴,又a>1, ｘ１＜x２，∴ , ∴ , ∴f(ｘ1）<f（ｘ2),则在定义域上为增函数、另:, ∵, a>1且x2-x1＞０,∴，∴、【总结升华】指数函数就就是学习了函数得一般性质后,所学得第一个具体函数、因此,在学习中,尽量体会从一般到特殊得过程、例5、判断下列各数得大小关系:(1）１、8ａ与1、8a+1; (2）(３）22、５,（2、5)0, (4）【思路点拨】利用指数函数得性质去比较大小。

【答案】(1)1、8a<１、8a+1 (2) （3)(4）当a>1时,，当0<ａ＜1时,【解析】(1)因为底数１、８>1,所以函数y=１、8x为单调增函数,又因为a＜a＋1，所以1、8a<1、8a+1、(2）因为,又就就是减函数，所以,即、(3）因为,,所以(4)当a＞１时,,当0<a<1时,、【总结升华】(１)注意利用单调性解题得规范书写；（2)不就就是同底得尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性);（3)不能化为同底得,借助一个中间量来比较大小(常用得中间量就就是“0”与“１”)、举一反三:【变式1】比较大小：(1）２2、1与22、3 (２)３、53与3、23 (3)0、９-0、３与1、1－0、1(4）0、9０、3与0、７０、4 (5)、【解析】(1)22、1＜２2、3(２)３、53＞３、23、观察两函数值,底数不同，而指数不变——不就就是指数函数，而就就是ｙ=ｘ3,它为增函数、（3)由0、9-0、３,0<0、９＜1, －0、3<0⇒0、９-0、３>１,1、1＞1, -0、1<0⇒0<1、１－0、1<１, 则0、９-０、3>１、1-0、1;(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合,0、9０、３>0、70、4、(5)∵,又函数为减函数,, ∴ ,∵为增函数,时，ｙ>１，、另解:幂函数为增函数,则有,(下略)、【高清课堂:指数函数 369066 例1】【变式2】利用函数得性质比较,,【答案】【解析】=作出得图象知所以【变式3】比较1、５-0、2, 1、30、７, 得大小、【答案】【解析】先比较得大小、由于底数(0，１), ∴ 在R 上就就是减函数,∵ , ∴ ,再考虑指数函数y=１、３x , 由于１、3>1, 所以y=１、3x 在Ｒ上为增函数1、30、7＞1、３０=1, ∴ 、【总结升华】在进行数得大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数得性质得出结果，若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数得性质得出结果;不能化成同底数得,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果、总之比较时要尽量转化成底得形式,根据指数函数单调性进行判断、例6、 （分类讨论指数函数得单调性)化简:【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式得形式,然后对进行分类讨论,去掉绝对值。

【解析】举一反三:【变式1】如果(,且),求得取值范围、 【答案】当时,;当时, 【解析】(1)当时,由于, ,解得、(2）当时,由于, ，解得、综上所述,得取值范围就就是:当时,；当时,、 类型四、判断函数得奇偶性例7、判断下列函数得奇偶性： (为奇函数) 【答案】偶函数【解析】ｆ(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称,且f （ｘ)得定义域就就是定义域除掉0这个元素）,令,则)()21121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----=∴ ｇ（x)为奇函数, 又 ∵为奇函数，∴ f(x ）为偶函数、【总结升华】求得奇偶性,可以先判断与得奇偶性,然后在根据奇·奇=偶,偶·偶=偶,奇·偶=奇，得出得奇偶性、举一反三：【变式1】判断函数得奇偶性:、 【答案】偶函数【解析】定义域{x|xR 且ｘ≠0}, 又21111111()(1)()()222212121x xx x x x x f x -+=-=+-=+=---, ∴ f(－x ）=ｆ(x),则f(ｘ)偶函数、类型五、指数函数得图象问题例８、如图得曲线C １、C 2、C 3、C ４就就是指数函数得图象,而,则图象C 1、C ２、C 3、C ４对应得函数得底数依次就就是＿__＿＿___、_＿＿___＿_、________、___＿____、【答案】【解析】由底数变化引起指数函数图象得变化规律可知，C 2得底数＜Ｃ1得底数<C 4得底数<Ｃ3得底数、【总结升华】利用底数与指数函数图象之间得关系可以快速地解答像本题这样得有关问题,同时还可以解决有关不同底得幂得大小比较得问题,因此我们必须熟练掌握这一性质,这一性质可简单地记作:在y轴得右边“底大图高”,在y轴得左边“底大图低”、举一反三:【变式１】设,c＜b<ａ且,则下列关系式中一定成立得就就是( )A、B、C、D、【答案】D【变式2】为了得到函数得图象，可以把函数得图象( )A、向左平移9个单位长度，再向上平移５个单位长度B、向右平移９个单位长度,再向下平移５个单位长度C、向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度Ｄ、向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度【答案】C【解析】注意先将函数转化为,再利用图象得平移规律进行判断、∵,∴把函数得图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度,可得到函数得图象,故选C、【总结升华】用函数图象解决问题就就是中学数学得重要方法，利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数得图象,并掌握图象得变化规律,比如:平移、伸缩、对称等、指数函数测试题11、函数ﻩﻩﻩ( )A、B、C、ﻩD、２、若指数函数在[－1,1]上得最大值与最小值得差就就是1,则底数ａ等于ﻩ( )Ａ、B、Ｃ、D、3、函数,满足得得取值范围( )A、ﻩB、Ｃ、D、４、函数得单调递增区间就就是ﻩﻩﻩﻩ( ）Ａ、ﻩＢ、ﻩC、ﻩD、５、已知，则下列正确得就就是ﻩﻩ( )ﻩＡ、奇函数，在Ｒ上为增函数ﻩＢ、偶函数,在R上为增函数C、奇函数,在R上为减函数D、偶函数，在R上为减函数二、填空题6、已知函数f （x)得定义域就就是(1，2),则函数得定义域就就是、7、当a＞0且ａ≠1时，函数f （x)=a x-2－3必过定点、８、已知－１<a＜０,则三个数由小到大得顺序就就是、三、解答题9、(12分)求函数得定义域、10、(１2分）已知函数在区间[－1,１]上得最大值就就是１4,求ａ得值、11、(1２分)（１）已知就就是奇函数,求常数m得值;(2)画出函数得图象，并利用图象回答:k为何值时,方程|３Ｘ－1｜=k无解？有一解?有两解?指数函数测试题1答案一、DＣDDD AＡD D A 二、１1、(０，1）; 12、(2,-2); １3、；14、;15、解:要使函数有意义必须:xxxxx-≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩1011∴定义域为:16、解：,其中、当r＞1时，,所以a r+bｒ<cｒ;当ｒ<1时,，所以a r+ｂr>ｃr、17、解：, 换元为,对称轴为、当,,即x＝1时取最大值,略解得a＝3 (a= －5舍去)１8、解: (１)常数ｍ=１(2)当k<0时,直线ｙ＝k与函数得图象无交点,即方程无解；当k=0或k１时, 直线y=k与函数得图象有唯一得交点,所以方程有一解;当0<k＜1时, 直线y=k与函数得图象有两个不同交点,所以方程有两解。