2018 年 4 月浙江省学考数学试卷及答案满分 100 分，考试卷时间80 分钟一、选择题（本大题共18 小题，每小题 3 分，共 54 分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

）1. 已知集合P x0x 1 ,Q x 2x 3 记 M P U Q，则A . 0,1,2M B. 0,1,3M C.0,2,3M D. 1,2,3M2.函数 f ( x)x 1的定义域是xA . x x 0B . x x 0 C. x x 0 D. R3.x y10将不等式组x y1，表示的平面区域记为，则属于的点是A . (3,1)B . (1,3) C.(1,3) D . (3,1)4.已知函数 f (x)log 2 (3 x)log2 (3x) ，则 f (1)A . 1B . log26 C.3 D. log295.双曲线 x2y 21的渐近线方程为3A . y 1 x B. y 3 x C. y3x D . y3x336.如图，在正方体ABCD A1B1C1 D1中，直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的余弦值是A .1 B.3 C. 2D.3337. 若锐角满足 sin(π3，则 sin )25A .2 B.3 C. 3D .5548．在三棱锥O ABC 中，若 D 为BC的中点，则AD6345（第 6 题图）1uuur1 uuur uuurB.1 uuur1 uuur uuurA .OA OC OB OA2OB OC2221uuur1 uuur uuurD.1 uuur1 uuur uuurC.OB OC OA OB2OC OA2229.设 a n，b n(n N) 是公差均不为零的等差数列. 下列数列中，不构成等差数列的是A . a n b nB .a n b n C.a n bn 1 D . a n b n 110.不等式 2x1x1 1 的解集是1A .x 31B .x1x x 3 33C.x x3,或 x1D.x x 1,或 x 33311．用列表法将函数 f (x) 表示为，则A . f ( x2) 为奇函数 B. f ( x 2) 为偶函数C. f ( x2) 为奇函数D. f ( x 2) 为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为 4 的正方形ABCD 分割成四个小正方形. 若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是A . x2y 2x 2 y 1 0B . x2y 22x 2y 10C. x2y 22x y 1 0 D . x2y 2 2 x 2y 1013.设 a 为实数，则“a1”是“ a 21”的（第 12 题图）a 2aA . 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1) ， B(2,0) ，过 A 的直线交 x 轴于点 C (a,0) ，若直线 AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则 aA .1 B. 3C. 1D.444315.甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为S甲， S乙，体积为 V甲， V乙，则正视图侧视图正视图侧视图俯视图（第 15 题图①）俯视图（第15题图②）A .SS ， VV B.SS ， V V 甲乙甲乙甲乙甲乙C.SS ， VV D. SS ， V V 甲乙甲乙甲乙甲乙16．如图，设F为椭圆x2y 21(a b0) 的右焦点，过 F 作x轴的垂线交椭圆于点P ，a2b22点 A, B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点 . 若△ OAB 的积是△ OPF 面积的5倍，2则该椭圆的离心率是A . 2 或 3B . 1 或4C.10 或 15 D. 5 或 2 55 5 5 5555 517．设 a 为实数，若函数 f ( x) 2 x 2x a 有零点，则函数y f [ f ( x)] 零点的个数是A . 1 或 3 B. 2 或 3C. 2 或 4D . 3 或 418．如图，设矩形 ABCD 所在平面与梯形 ACEF 所在平面相交于 AC ，若 AB 1, BC3 ， AF FEEC 1 ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是A . F ABC B . C.A BF CD.B EFDB AF D（第 18 题图）二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分 . ）19．已知函数 f (x)sin(2 x) 1 ，则 f ( x) 的最小正周期是 ▲ ，的最大值是▲ .r r r 3 r r r rr20. 若平面向量 a, b 满足 2a b 1,6 ， a 2b ( 4,9) ，则 a b▲ . 21. 在△ ABC 中，已知 AB 2 ， AC 3 ，则 cosC 的取值范围是▲ .22．若不等式 2x 2x a x a2 0 对任意 x R 恒成立，则实数 a 的最小值是▲ .三、解答题 （本大题共 3 小题，共 31 分 . ）23. ( 本题满分 10 分) 在等差数列 a n (n N ) 中，已知 a 12 ， a 5 6 .( Ⅰ ) 求 a n 的公差 d 及通项 a n ；（Ⅱ）记 b n2a n ( n N ) ，求数列b n 的前 n 项和 .324. (本题满分10 分 )如图，已知抛物线y x 21与 x 轴相交于点 A ， B 两点， P 是该抛物线上位于第一象限内的点.(1)记直线 PA，PB 的斜率分别为k1 ,k2，求证 k2k1为定值；（2）过点A作AD PB ，垂足为 D .若 D 关于 x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△ PAD 的面积 .（第 24 题图）25. （本题满分11 分 ) 如图，在直角坐标系xoy 中，已知点A(2, 0), B(1,3)，，直线 x t 0 t 2将△ OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为，设各边长的平方和为 f (t ) ，各边长的倒数和为 g (t ) .(1)分别求函数 f (t ) 和 g (t ) 的解析式；（2）是否存在区间(a, b) ，使得函数 f (t ) 和 g (t) 在该区间上均单调递减？若存在，求b a 的最大值；若不存在，说明理由.(第 25 题图 )42018年 4 月浙江学考数学原卷参考答案一、选择题（本大题共18 小题，每小题 3 分，共 54 分 . ）题号123456789答案C A D C C D D C A题号101112131415161718答案B A B A B B D C B 二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共15 分. ）19 ．，320.221.[5,1)22.3 3三、解答题（本大题共 3小题，共31 分 . ）23 ．解：（1）因为a5a14d ，将a1 2 ，a5 6 代入，解得数列a n的公差 d1；通项a n a1(n 1)d n 1.（2）将（ 1）中的通项a n代入b n2a n2n1.由此可知b n是等比数列，其中首项b1 4 ，公比q 2 .所以数列b n的前 n 项和 S n b1 (1q n )2 n 241q24.解：（1）由题意得点A, B的坐标分别为A( 1,0)，B(1,0) .设点 P 的坐标为P(t , t 21) ，且t 1 ，则t 211， k 2t 211，k1tt tt12 为定值.1所以 k2k1（2）由直线PA, AD的位置关系知：kAD k1 1 t .因为解得AD PB ，所以， k AD k2 (1 t)(t1) 1 ，t 2 .因为 P 是第一象限内的点，所以t 2 .得点 P 的坐标为P(2,1). 联立直线PB与AD的方程y(1 2 )(x1),解得点 D 的坐标为 D ( 2 ,2 ) .y(1 2 )(x1),22所以△ PAD 的面积1y D12 S AB y P.2225. 解：（ 1）当0t 1时，多边形是三角形（如图①），边长依次为t ,3t,2t ；当 1 t 2 时，多边形是四边形（如图②），边长依次为 t,3( 2t),2(t 1),25(第 25 题图① ) (第 25 题图② )所以，f (t )8t 2,0 t 1,8t220t 20,1 t2,33 1,0 t 1,()tg(t)231 111,1 t2.t )1)t3(2 2(t 2（Ⅱ）由（ 1）中 f (t) 的解析式可知，函数f (t) 的单调递减区间是 (1, 5) ，4 所以(a, b)(1, 5) .4 (1, 5) ，且 t 1另一方面，任取 t 1, t 2t 2 ，则4g(t 1 ) g(t 2 )(t 2 t 1 )[ 12(t 1 1 1)1 ] .t 1t 2 1)(t 2 3(2 t 1 )( 2 t 2 ) 由 1 t 1 t 2 5 知， 1 t 1 t 2 25 0 2(t 1 1)(t 2 1) 14 , ,168 3(2 t 1 )( 2 t 2 ) 9 3. 从而 0 2(t 1 1)(t 2 1) 3(2 t 1 )(2 t 2 ) ,16即 1 1 02(t 1 1)(t 2 1) 3(2 t 1 )(2 t 2 )所以 g(t 1 )g(t 2 ) 0 ，得 g (t ) 在区间 (1, 5) 上也单调递减，(1, 5) . 4证得(a, b)4所以，存在区间 (1, 5) ，使得函数f (t) 和g (t ) 在该区间上均单调递减，4且 b a 的最大值为 1.46。