2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{4,5,6},{3,5,7}A B ==，则A B =（ ）A ．∅B ．{5}C ．{4,6}D ．{3,4,5,6,7}2．函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞3．33log 18log 2-=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是（ ） A ．22(1)(2)20x y +++= B ．22(1)(2)20x y -+-= C ．22(1)(2)5x y +++=D ．22(1)(2)5x y -+-=5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．436．不等式|1|24x -<的解集是（ ）A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞7．若实数,x y 满足不等式组3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．68．若直线1:3410l x y 与2:320()l x ay a -+=∈R 平行，则1l 与2l 间的距离是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若2sin b A =，则B =（ ） A ．6π B ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π10．已知平面,αβ和直线l ，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//l l αβ，则//αβ B ．若//,l l αβ⊂，则//αβ C ．若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ⊥11．若,a b ∈R ，则“14ab ≥”是“2212a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*1112,1,n na a n a +=-=-∈N ，则（ ） A ．40100a a < B ．40100a a > C ．40100S S <D ．40100S S >14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是（ ）A ．45B ．35CD．1015．某简谐运动的图象如图所示.若,A B 两点经过x 秒后分别运动到图象上,E F 两点，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB GB EF GB ⋅=⋅ B ．AB AG EF AG ⋅>⋅C ．AE GB BF GB ⋅=⋅D ．AB EF BF AG ⋅>⋅16．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．517．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（ ）A ．2B ．18C ．12D 18．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABCEF O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、双空题19．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若141,64a a ==，则q =____，3S =____.三、填空题20．已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______.21．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.22．已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.四、解答题23．已知函数1()cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的最小正周期； （3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 24．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.25．设[]0,4a ∈，已知函数24(),1x af x x x -=∈+R . （1）若()f x 是奇函数，求a 的值； （2）当0x >时，证明：()22af x x a ≤-+； （3）设12,x x ∈R ，若实数m 满足()()212f x f x m ⋅=-，证明：1()(1)8f m a f --<.参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分．）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．）19．4，21 20 21． 22．11,2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题共3小题，共31分．）23．（Ⅰ）1cos 322222f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即32f π⎛⎫=⎪⎝⎭；（Ⅱ）1()cos sin sin 626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的最小正周期2T π=；（Ⅲ）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因此当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==； 当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =；所以()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1]． 24．（Ⅰ）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =．设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =所以，直线l的方程为1y =+．（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，所以1020||||PA PB x x ⋅=--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦ ()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦ ()()220014k x y =+-．由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+．由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)k xy t +-=+．所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+．由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++--===++． 25．（Ⅰ）由题意，对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-， 即224()4()11x a x ax x ---=--++，亦即44x a x a --=-+，因此0a =；（Ⅱ）证明：因为0x >，04a ≤≤，()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭ ()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+．所以，()22af x x a ≤-+． （Ⅲ）设4t x a =-，则222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R ， 当0t =时，0y =； 当0t ≠时，216162y a t at =+++；max ()0f x =>，min ()0 f x =<，()f x ≤≤由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x ⋅=-≥，即22m -≤≤．①当0m a -≤时，()0f m a -≤，4(1)02a f -=≥，所以1()(1)8f m a f --<； ②当0m a ->时，由（Ⅱ）知，4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤，等号不能同时成立． 综上可知1()(1)8f m a f --<．。