数列中的规律
在日常生活中，我们经常会碰到许多按一定顺序排列的数。
比如：自然数、年份、学号等。
只要我们从不同的角度去分析研究，善于观察、分析、总结，就能发现规律，找到解决问题的方法。
例1：找出数的排列规律（以后简称为数列规律），在括号中填上适当的数。
（1）1、2、3、4、（）、6；
（2）1、3、5、7、9、（）、13；
（3）3、6、9、12、（）、18；
（4）5、6、8、11、15、20、（）；
（5）1、4、9、16、（）、36。
分析：（1）仔细观察，可以发现这是一个连续的自然数的排列（以后简称为自然数列）。
从左向右看，后面一个总比前面一个自然数多1，即：前面的数＋1=后面的数；或者说：后面的数－1=前面的数。
所以这里应填入5。
（2）从左向右看，可以发现每相邻的两个数，它们之间的关系是：相差2，即前面的数＋2=后面的数，或后面的数－2=前面的数。
所以空处应填入11。
（3）可以看出每相邻两个数的差都是3，所以填15。
（4）从左向右，可以看出每相邻两个数的差依次为1、2、3、4、……，差在不断地以连续自然数的形式增加。
根据15与20差5，可以知道20
与后面一个数应相差6，所以应填入26。
（5）差依次为3、5、7、9、11，所以应填入25。
解：（1）1、2、3、4、（5）、6；
（2）1、3、5、7、9、（11）、13；
（3）3、6、9、12、（15）、18；
（4）5、6、8、11、15、20、（26）；
（5）1、4、9、16、（25）、36。
这一组题，虽各有特点，但在思考时，都是从相邻两个数的差之间的关系来考虑。
我们可以称之为“求差找规律”，这也是我们最常用的数列规律方法之一。
例2：找出数列排列规律，填入适当的数。
（1）1、1、2、3、5、8、（）、21、34；
（2）1、3、4、7、11、（）、29、47；
分析：这两道题很特别，如果我们用求差法来找规律，会发现好象不存在什么规律。
怎么办呢？通过观察（1）我们可以看出：从左向右看，相邻两个数的和恰好等于后面一个数（第三个数）如：1＋1=2；1＋2=3；2＋3=5；3＋5=8；……，所以第一个括号中应填入5加8的和13；第二个括号中应填入7加11的和18。
解：（1）1、1、2、3、5、8、（13）、21、34；
（2）1、3、4、7、11、（18）、29、47。
这一组题，虽然少，但同学们不要小看这一组数列，在我们今后的学习中，有许多问题都是用这用数列来解答的。
它们的规律是两两相加得第三个数。
我们可以把解答这类题的方法称之为：求和找规律。
例3：找出数列排列规律，并填入适当的数。
（1）1、2、4、8、16、（）、64；
（2）1、3、9、27、81、（）、729；
（3）625、125、25、（）、1。
分析：这一组数列我们用求差法、求和法均不能找出什么规律来，那怎么办呢？还是想想四则运算中的乘法或除法吧。
通过观察，我们会发现在（1）中每相邻两个数都是两倍关系，即相邻的两个数，用左边的数×2=右边的数。
或者用右边的数÷2=左边的数。
所以（1）中空格应填入32。
用这样的办法，我们很快会发现（2）中相邻两数是3倍关系，所以填入243；（3）中相邻两数是5倍关系，所以应填入5。
解：（1）1、2、4、8、16、（32）、64；
（2）1、3、9、27、81、（243）、729；
（3）625、125、25、（5）、1。
这一组题我们在解答题都是根据相邻两个数之间的倍数关系来解答的，我们把这用方法叫做“求倍数找规律”
例4：找出下列各数列的排列规律，并填入适当的数。
（1）1、2、3、2、、5、2、7、2、（）、（）；
（2）30、15、32、13、34、11、（）、（）；
（3）1、2、3、4、5、8、7、16、9、（）、（）。
分析：这一组题，我们从相邻两个数的关系入手来找规律，会发现，这样做没什么规律可寻的。
但从题（1）中我们发现2这个数字不断间隔地出现，如果我们先不看2，只观察剩下的数字：1、3、5、7、……。
这不是一个相邻数之差是2的数列吗？
原来，这一题是隔数填数找规律呀！这样7隔一个数2就填入9，9后再隔一个2就行了。
看看下面两题能不能也用刚才的方法来思考呢？把（2）中的数间隔开来，得到两个数列：30、32、34、下面应是36，15、13、11、下面就是9。
题（3）也间隔成两个数列得1、3、5、7、9、……和2、4、8、16、……，所以用前面例题中学到的方法可知，应分别填入11和32。
解：（1）1、2、3、2、5、2、7、2、（9）、（2）；
（2）30、15、32、13、34、11、（36）、（9）；
（3）1、2、3、4、5、8、7、16、9、（32）、（11）。
这一组题用找相邻两个数的差的方法很难找出什么规律来，为什么呢？通过刚才的分析和解答，同学们可以看出这里的每一题中都有两个数列，而且是间隔排在一排，这样我们找相邻两个数之间的关系时，就不行了，所以要分成两个数列来分析，分别找出两个数列的规律，然后解答。
我们把这种方法叫“拆双数列找规律”。
例5：找出下面数列的规律，并填入适当的数。
（1）1、2、4、5、7、8、10、（）、（）；
（2）1、2、4、7、12、20、33、54、（）；
（3）3、5、9、17、33、65、129、（）。
分析：拿到一道题后道先从求差法来思考：如（1），我们发现1和2差为1，2和4差为2，4和5差又为1，5和7差又为2，即差呈1、2、1、2、……形式反复。
所以从8和10差2可以10与后一数相差1，应填入11、再后一数与11差为2，就应填入13。
（2）求差没找到规律，再尝试求和法。
1＋2得3，4比3多出1，2＋4得6，7比6也多出1，4＋7得11，12比11也多出1，所以得出连续的三个数中，第三个数比前两个数的和多1，所以括号中应填入（33＋54）＋1=88。
（3）用求差法、求和法都没能找到规律，那么就要从求倍数来找规律了。
3的2倍是6，5比6少1，5的2倍是10，9比10也少1；9的2倍是18，17比18又少1，……，所以知道，连续两个数中，后一个数比前一个数的2倍少1。
所以，括号中应填入257。
练习：
（1）用求差法找出数列规律，并填入适当的数。
2、4、6、8、10、（）、14、16；
1、2、4、7、11、16、22、（）；
89、79、69、59、49、（）、29、19；
（2）用求和法找出数列规律，并填入适当的数。
1、2、3、5、8、（）、21、34；
2、5、7、12、19、31、（）81；
（3）用求倍法找出数列规律，并填入适当的数。
10、20、40、（）、160、320；
1024、512、256、128、（）、32；
（4）用拆数列找规律，并填入适当的数。
3、5、6、7、9、9、12、11、（）、（）；
90、1、80、4、70、7、60、10、（）、（）；
（5）用适当的方法找出数列排列规律，并填入适当的数。
1、2、6、21、88、445、（）；
11、15、18、20、21、20、19、（）。