题1：表面光滑的刚性圆柱体与弹性平面的接触问题。

有以下假设：接触体材料均匀连续，各向同性，在接触区内只产生服从虎克定律的弹性变形，接触区相比接触体表面很小且在其附近的表面是光滑的，压力垂直于物体接触面，接触面上的摩擦力忽略不计。

各参数为：计算区域宽度为L=0.128mm，圆柱体半径R=0.5mm，弹性模量E=210GPa，泊松比，平面应变问题，P=50N/m,μ=0.3
1) 用有限元法求弹性平面应力分布；
2) 用有限元法求的弹性平面表面接触压力分布曲线，并与Hertz理论解作对比。

解：
1、使用有限元方法求解
（1）建立有限元模型
图1 有限元模型
如图1有限元模型，刚性圆弧半径为0.5mm，AB边长为0.128mm。

可变形体采用PLANE42
μ=。

单元，如图2设置为处理平面应变问题。

材料参数为：弹性模量E=210000M Pa，泊松比0.3
图2 PLANE42的单元设置
（2）接触对设置
按照图3所示的各图完成接触对的设置；在接触对的设置过程中，将圆弧线定义为刚体，同时在坐标原点y方向上0.1mm处定义刚体的控制节点，利用此节点施加刚体的边界条件；选择图1所示的AB边作为可变形体的接触区域；最后使用翻转法线方向的命令，保证两接触对的法线方向相对。

最后进行模型检测，看间隙是否过大，在接触单元Options中选择cnof/icont中选闭合Gap。

接触算法采用软件默认的设置，不定义摩擦系数。

图3 设置接触对
（3）施加边界条件
如图4所示施加边界条件。

约束可变形平面底边的所有自由度，约束刚体控制点x方向
的位移，并在刚体控制点上施加负y方向50N的压力。

图4 施加边界条件
（4）计算结果
进行求解，获得的两接触对的接触压力如图5所示，最大接触压力值为2685MPa，位于加载的中心。

可变形体内部的Mises应力分布如图6所示，最大Mises应力值为1665MPa，位于接触区域以下。

（中间变细，弹性模量变成平面应变模量。

contact presure2853.von mises
1742）
应力是内部材料抵抗变形而产生能量的反映，压力是作为力传递的外载在表面材料上的分布
图6 Mises 应力图（单位：MPa ）
2、使用解析法求解（选用mm 、MPa 计算结果与选用m 、Pa 计算的结果不同）
根据Hertz 接触理论，接触半宽的计算公式为：
a =其中：a 为接触半宽；P 为外载荷；R 为刚性圆弧的半径；E *是可变形体的等效弹性模量。

2/(1)E E μ*=-
接触区域的接触压力分布为：
221/2
22()()P p x a x a π=-
第一主应力沿深度方向的分布：
}2))(2{(2/122220z z a z a a p x -++-=-σ
第二主应力沿深度方向的分布：
2
/1220)(-+-=z a a p z σ
主剪应力沿深度方向的分布： }
)({2/122201---=z a z z a p τ
计算得到的最大接触压力为2700MPa ，压力分布如图7所示：由Ansys 计算得到的接触压力分布如图8所示，最大接触压力为2682MPa （2720MPa ），误差为0.67%。

图7 由Hertz 公式计算得到的接触压力分布
General Postproc>>path operations>>define path>>map on paths>>plot path item.
图8 由Ansys计算得到的接触压力分布（峰值数据和云图数据对不上,调整好数据点数就可
以调出峰值）
题2：结合自己的专业与研究方向，选择一三维接触问题进行建模、求解及计算分析。

要求有问题的提出、建模、求解、分析及结论各部分的详细论述。

解：
行星滚柱丝杠副基本结构如图9所示，丝杠A是具有螺旋升角的多头螺纹；螺母B具有内螺纹，牙型为三角形，牙型半角与滚柱牙型半角相同；C是滚柱，单线螺纹，为了增大接触面积，其螺旋面通常加工出具有较大接触半径的圆形轮廓，滚柱与螺母的螺旋角相同，以保证滚柱在螺母内滚动时无相对轴向位移。

同时为了消除丝杠螺旋升角对滚柱产生的倾斜力矩，在滚柱两端加工有直齿D，与内齿圈E啮合，以确保滚柱轴线平行于丝杠轴线而正常滚动。

F 为滚柱保持架，使滚柱沿圆周均匀分布；滚柱保持架则由弹簧挡圈G定位；H为密封圈，I是定位销，J是润滑油孔。

图9 行星滚柱丝杠结构
行星滚柱丝杠的接触分析是对其后续进行摩擦、润滑和磨损分析的基础。

所以有必要对其接触状态进行分析，故本文使用ABAQUS软件进行行星滚柱丝杠的单螺纹啮合计算。

为了节约计算时间只进行单螺纹啮合计算，对模型进行简化。

创建的行星滚柱丝杠的单螺纹啮合几何模型如图10所示。

由于该行星滚柱丝杠具有5个滚柱，所以取螺母以及丝杠的
1/5进行分析。

为了减少网格的划分个数去掉多余的螺纹部分。

对行星滚柱丝杠的网格划分结果如图11所示。

采用C3D8R（8节点线性三维积分缩减单元）以及C3D4（4节点线性四面体单元）进行网格的划分。

如图12在螺纹啮合的部分进行网格的细化，共划分了403702个单元。

图10 行星滚柱丝杠单螺纹啮合几何模型图11 行星滚柱丝杠单螺纹啮合有限元模型
图12 接触区域的网格细化
如图13，在可能发生接触的区域创建接触对，同时为了方便施加载荷，在螺母以及丝杠轴线的方向上创建两个参考点，同时建立点对面的耦合关系。

如图14约束螺母、滚柱、丝杠的x方向以及z方向的位移，在A点施加载荷，约束B点所有的自由度。

图13 接触对以及自由度耦合的创建
图14 边界调节与施加外载荷
有限元的计算结果如图15~18所示。

行星滚柱丝杠螺母螺纹接触部位的位置如图15（a）所示，接触椭圆的中心位于滚柱轴线和螺母轴线所形成的平面内。

螺母接触部位的局部放大如图15（b）所示，应力剖面如图15（c）所示。

滚柱与螺母接触部位的应力分布如图16所示，滚柱与丝杠接触部位的应力分布如图17所示，可以看出滚柱与螺母接触椭圆的中心以及滚柱的圆心和滚柱与丝杠接触部位的中心并不像大多数文献假设的位于同一条直线上。

滚柱与丝杠接触部位的中心偏离了中心线。

丝杠接触部位的应力分布如图18所示，模型中各个零件的装配位置关系是按照实际给出的，但是丝杠螺纹的最初接触位置并没有位于螺纹节线附近，而处于螺纹的顶端，这种受力情况不利于行星滚柱丝杠使用寿命的提高。

在后续的分析中可
以针对该问题，给出理论分析以及结构改进。

（a）整体图
（b）局部放大图
（c）剖面图
图15 螺母接触部位的应力分布图
图16 滚柱与螺母的接触部位图17 滚柱与丝杠的接触部位
（a）整体图
（b）局部放大图
（c）剖面图
图18丝杠接触部位的应力分布图。