一、 填空题1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为 T 100]- [103。

2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。

3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。

4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高--低--高。

5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。

6. 函数12T T x Hx B x c ++的梯度为_________。

7. 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。

8. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值的 不变方向。

9. 设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。

10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。

11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。

12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。

13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。

14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --∇∇，其计算是 大，且要求初始在级极小点附近位置。

15. 将函数()2112121210460f x x x x x x x =+---+表示成12T T x Hx B x c ++的形式为 。

16. 存在矩阵H ，向量1d ，2d ，当满足()0T i j d Hd =向量1d 和向量2d 是关于H 共轭。

17. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有_0210→>>>Λr r r _特点。

18. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最佳步长。

21、对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为 ],[1b a 。

22、由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题数值求解方法。

23、内点惩罚函数求解约束优化问题过程中，惩罚因子具体有趋近于零变化规律。

24、寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日乘子法。

25、优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变 小 。

26、优化设计中，可行设计点为 可行域 内的设计点。

27、方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的 变化率 。

28、设()f x 为定义在凸集R 上具有连续二阶导数的函数，则()f x 在R 上为凸函数充分必要条件是海赛矩阵()G x 在R 上处处半正定。

29、在n 维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n 个。

30、约束优化问题在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。

31、外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近 边界 或等式约束曲面。

二、 选择题1. 下面 C 方法需要求海赛矩阵。

....A B C D DFP 最速下降法 共轭梯度法 牛顿型法 法2. 对于约束问题()()()()22122211221324410300f x x x x Y x x x Y x x Y x x =+-+=--≤=-≤=≤根据目标函数等值线和约束曲线，判断()[]11,1Tx =为________，()231,22Tx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为________。

....A B C D 内点；内点 外点；外点 内点；外点 外点；内点3. 内点惩罚函数用于求解 B 优化问题。

....A B C D 无约束优化问题 只含不等式的约束优化问题只含等式的优化问题 含有不等式和等式的约束的优化问题4. 拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种 D 。

....A B C D 降维法 消元法 数学规划法 升维法5. 对于一维搜索，搜索区间为[],a b ，中间插入两个点1a ，1b ，11a b <，计算出()()11f a f b <，则缩短后的搜索区间为 D 。

[][][][]111111.,.b ,.,.,A a b B b C a b D a b6. D 不是优化设计问题数学模型的基本要素。

....A B C D 设计变量 约束条件 目标函数 最佳步长7. 变尺度发的迭代公式为()1k k k k k x x a H f x +=-∇，下列不属于k H 必须满足的条件是 C 。

....k A H B C D 之间有简单的迭代形式 拟牛顿条件与海赛矩阵正定 对称正定8. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的 A 。

....A B C D 最速上升方向 上升方向 最速下降方向 下降方向9. 下面四种无约束优化方法中， C 在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。

....A B C D 梯度法 牛顿法变尺度法 共轭梯度法10. 设()f x 为定义在凸集R 上且具有连续二阶导数的函数，则()f x 在R 上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵()G x 在R 上处处 B 。

....A B C D 正定 半正定负定 半负定11. 通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是 B 。

....A B C D 牛顿法 梯度法共轭梯度法 变尺度法12. 一维搜索试探方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度 D 。

....A B C D 慢 快一样 不确定13. 下列关于最常用的一维搜索试探方法———黄金分割法的叙述，错误的是D ，假设要求在区间[],a b 插入两点1a ，2a ，12a a <。

()()12.0.618...A B a b b a C a b b a D λλ=--=+-其缩短率为 在该方法中缩短搜索区间采用的外推法14. 与梯度成锐角的方法为函数值 A 方向，与负梯度成锐角的方向为函数值B 方向，与梯度成直角的方向为函数值的C 方向。

....A B C D 上升 下降不变 为零15. 二维目标函数的无约束极小点就是 A 。

....A B C D 等值线族的一个共同中心 梯度为0的点全局最优解 海赛矩阵正定16. 最速下降法相邻两搜索方向k d 和+1k d 必为向量 B 。

....A B C D 相切 正交成锐角 共轭17. 下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是 A 。

....A B C D 需要求海赛矩阵除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度共轭梯度法具有二次收敛性第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度18. 下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是 A 。

....A B C D 可用来求解含不等式约束和等式约束的优化问题惩罚因子是不断递减的正值初始点应该选择一个离约束边界较远的点初始点必须在可行域内19. 设()f x 是定义在凸集D 上具有连续二阶导数的函数，则()f x 在D 上严格凸函数的充要条件是 A : ....A Hesse B Hesse C Hesse D Hesse 矩阵处处半正定 矩阵处处正定矩阵处处半负定 矩阵处处负定20. 下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵 A 。

....A B C D 牛顿法 梯度法 共轭梯度法 变尺度法21. 关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是 D 。

...n .A B C D 共轭矩阵是正交矩阵的特殊情况 共轭矩阵是正交矩阵的推广维空间中相互共轭的非零向量个数可以为任一数量22. 多元函数的海赛矩阵是其 B 偏导数所形成的对称矩阵。

....A B C D 一阶 二阶三阶 四阶23. 关于变尺度优化方法的变尺度矩阵k A ，下列说法不正确的是 C 。

....k A A B C D 有简单的迭代形式 应满足拟牛顿条件与海赛矩阵正交 应为对称正定24. 关于梯度，下列说法不正确的是 D 。

....A B C D 与切线方向垂直 是等值面的切线方向是函数变化率最大的方向 函数最速下降方向25. 与梯度成锐角的方向为函数值 A 方向。

....A B C D 上升 下降 不变 为零三、 判断题1、二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。

（ⅹ）2、海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。

（√）3、当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。

（√）4、外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。

（√）5、梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。

（ⅹ）6、数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。

（√）7、海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。

（ⅹ）8、拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。

（ⅹ）9、凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。

（√）10、一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。

（ⅹ）11、二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。

（√）12、海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。

（ⅹ）13、外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题（ⅹ）14、变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵（ⅹ）15、梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。

（√）四、 问答题1、什么是一维搜索问题？答：当方向k d 给定时，求最佳步长k α就是求一元函数)()()(1k k k k k d x f x f αϕα=+=+的极值问题，它称为一维搜索。

2、试述两种一维搜索方向的原理，它们之间有何区别？答：区间消去法：搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。

黄金分割法： 所谓黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长段的比值等于较长段与较短段的比值，即)1(::1λλλ-=。

3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？ 答：P704、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答：惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题),,2,1(0)(),,2,1(0)(..)(min l k x h m j x g t s x f k j ΛΛ===≤ 中的不等式和等式约束优化函数 经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数----惩罚函数，即∑∑==++=l k k m j j x h H r x g G r x f r r x 121121))(())(()(),,(φ求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。