cos(x sin m )d
2
(11)
——贝塞尔函数常用的积分形式
(三) 贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表示 汉克耳函数
从贝塞尔函数的第一种积分表达式出发，利用最陡下降
法，可以得到贝塞尔函数的渐近表达式。为此，将贝塞尔函
数第一种积分表示写为
Jm (x)
g (t )e xh (t ) dt
C
[g(t)
xv
(1)k ( x )2k v1
k0 k !(k v) 2
xv Jv1(x)
与此类似，以 x – 乘 (9-1-2) 式，然后求导，可得到
d
dx
xv Jv
xv Jv1(x)
将以上两式展开，经化简分别得到
J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) 将上两式相加，得到
贝塞尔方程的另一个独立解的形式为：
w2 (z) zm dk zk AJm (z) ln z k 0
(7-3-15)
但是，确定以上解中的系数是一件很麻烦的事情。有
人采用一种巧妙的办法确定了贝塞尔方程中当 为整数或
零时的独立解。具体方法为：取 J (x) 与 J– (x) 的适当的
线性组合，使得非整数 趋于整数 m 时，该线性组合成为
(x)
k 0
(1)k k !(k v
( x)2kv 1) 2
J (x) 称为 阶贝塞尔函数。
贝塞尔函数 J0(x)、J1(x)、J2(x)… 的图像
当 为整数或零时，J (x) 与 J– (x) 不是线性独立的，
它们之间有以下关系
Jm (x) (1)m Jm (x) (m 0,1, 2, )
xn J1(x) (n 1)xn1J0 (x)
(n 1)2 xn2 J0 (x)d x
若 n 为奇数，照这样积分下去，最后一项积分为
xJ0 (x)dx xJ1(x) c
此时，积分结果可用 J0(x) 和 J1(x) 表示。若 n 为偶数，
最后一项为 J0 (x)dx，因而只能对 J0(x) 的级数表达式逐项
m
(x)
lim
vm
N
v
(x)
lim
J v v
cos v
sin v
Jv
J v v
vn
cos v
1
Jv v
( 1)m
J v v
m
——诺依曼函数
(二) 贝塞尔函数的生成函数和积分表示
在§7–3 例2
(p60) 中，曾证明函数
x (t1)
e2 t
在
t
=
0
的
洛朗展开式为
x (t1)
e2 t
t
1
n1
,
h(t) t t1 ] 2
根据最陡下降法，需计算 h(t) 的一阶、二阶导数：
h '(t) 1 t2 , h ''(t) t3 aei 2
h'(t) 的零点是：t0 = ± i，因此，有 h ''(i) aei0
由此，得到
a 1, 0
2
此时，积分回路 C 应选为沿垂直于 –0/2 的方向通过两个
x
24
根据 N (x) 的定义式，利用上式，可以得到 N (x) 的 渐进展开式：
Nv (x)
2 sin(x v )
x
24
由此可见，当 |x| 很大时，J (x) 和 N (x) 分别具有余 弦函数和正弦函数的振荡特性，但振幅与成反比，随 x
增大而衰减。
仿照三角函数和虚指数函数的关系式 (1-2-12) ，定义
§ 9–1 贝塞尔方程的解
(一) 贝塞尔函数和诺依曼函数 在§7–3中，已经求出了贝塞尔方程 x2 y " xy ' (x2 v2 ) y 0 (0 x b)
的两个线性独立解。 当 为非整数时，这两个线性独立的
解分别为
Jv
(x)
k 0
k
(1)k !(k v
1)
(
x 2
)2k
v
J v
(9-1-22) (9-1-23)
由此可知，若已有零阶和一阶贝塞尔函数表，则由 (9-1-23) 式可计算整数阶贝塞尔函数之值。
由上述递推公式，并由诺依曼函数的定义式 (9-1-23)， 可以导出诺依曼函数的类似的递推公式：
因为 J (x) 和 N (x) 都满足(9-1-26)型的递推公式，而
H
函数之间、贝塞尔函数与其导数之间的关系，即递推公式。 下面就来推导它们。
以 x 乘 (9-1-2) 式的两边，再对 x 求导，得到
d
dx
[
x
v
J
v
(
x)]
d dx
[
k 0
(1)k 2v (
k !(v k 1)
x 2
)2(kv) ]
(1)k 2v (2k 2v) ( x )2(kv)1 k0 k ! 2 (k v 1) 2
(1)
和
H
(
2)是
J
(x)
与
N
(x)
的线性组合，所以汉克尔函
数也满足同样的递推公式。常把任一满足这些递推关系
的函数统称为柱函数，以 Z 来表示。对一般的柱函数，
即有
d dx
( x
Z
)
x Z 1
d dx
( x
Z
)
x
Z
1
Z 1 Z 1
2
x
Z
Z 1 Z 1 2Z
可以证明：柱函数满足贝塞尔方程。但反过来，贝塞尔方 程的解不一定满足以上递推关系。
第九章 柱函数
在§7–3中，已经求得贝塞尔方程的级数解。在本 章中，首先讨论贝塞尔方程的不同形式的线性独立解， 然后在第二节中重点讨论含贝塞尔方程的本征值问题。 本章的最后，将简单介绍几种变形的贝塞尔方程的解。
本章的内容在电动力学 (如光导波的电磁结构) 及 量子力学 (如弹性散射中的分波法) 中均有重要应用。
0 / 0 型的不定式，再通过这一不定式的值来得到 为整数
时贝塞尔方程的另一独立解。符合要求的 J (x) 与 J– (x) 的线性组合为
Nv (x)
Jv (x) cos v sin v
Jv (x)
N (x) 与 J (x) 、J– (x) 是线性无关的。当 → m 时，利用
洛比达法则，有
N
例 利用递推关系证明
xn J0 (x)dx xnJ1(x) (n 1)xn1J0 (x) (n 1)2 xn2J0 (x)dx
证明：利用递推关系
xJ0 (x)
d dx
[J0 '(x)
分部积分，得到
xn J0 (x)dx xn1d[xJ1(x)] xn J1(x) (n 1) xn1J1(x)dx xn J1(x) (n 1) xn1dJ0 (x)
2Jv (x) J 1(x) Jv1(x)
将式 (9-1-20) 和式 (9-1-21) 相减，有
J 1(x) Jv1(x)
2
x
J (x)
在式 (9-1-22) 中令 = 0，则有
J0 (x) J1(x)
在式 (9-1-23) 中令 = 1，则有
J 2 (x) 2x1J1(x) J0 (x)
鞍点 ± i，如下图所示。也就是说，积分路径在通过 ± i 的两小段上与虚轴成 450 角，然后按任意路径环绕，形成 闭合回路。
对积分的主要贡献来自鞍点附近，即上图中的斜线段。
利用 (3-4-18) ，得到
Jn (x)
~
1
2 i
i
2 g( i)exh(i)i 4 i
x
2
x
g( i)exh(i)i
4
将 g(i) (i)n1 ei(n1) 2 和 h(±i) = ± i 代入上式，有
Jn (x)
2 cos(x n )
x
24
这是贝塞尔函数渐进展开式的第一项，它可以用来作为 x 很大时 Jn(x) 的渐进表示。可以证明，这个结果对任何 v 阶 贝塞尔函数都成立，即
Jv (x)
2 cos(x v )
)
(10)
上式即是贝塞尔函数的一种积分表达式，其中 C 是沿逆时
针方向绕 t = 0 一圈的任意回路。
若取 C 为 t 平面上的单位圆，则在 C 上有 t = e i 。于是
1
Jm (x) 2
e e e dx
(ei ei ) 2
i(m1) i
1 e d i(xsin m )
2
1
Jm (x)t m
(0 t )
(8)
m
其展开系数为 Jm(x)，所以上式左边的函数称为 Jm(x) 的生 成函数。令 t = e i ，可以得到
ei xsin
Jm (x) eim
(9)
m
利用洛朗展开式的系数公式，得到
x (t 1)
Jm (x)
1
2 i
e2 t C t m1 dt
(m 1, 2,
积分。 当 n = 3 时，有
x3J0 (x)dx x3J1(x) 2x2J0(x) 4x J1(x) c
汉克尔函数
H
(1) v
(
x)
Jv
(x)
i
Nv
(x)
H
( v
2
)
(
x)
Jv (x)
i
Nv (x)
它们的渐近表达式是
H (1) v
(x)
~
H (2) v
(x)
~
2 i (x v v ) e 24
x