vc =
2 g (hA - hC )
若hA＜ hc，则管内流速没有意义，即如果管口比水库面高， 在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。
例1. 已知水管里的水在压强 P = 4.0×105Pa 作用下流入室内， 水管的内直径为 2.0 cm ，管内水的流速为4.0m· s-1。引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。求浴室水龙 头完全打开时，浴室水管内水的流速以及浴室水龙头关闭 与完全打开时浴室水管内的压强。
第三节 伯努利方程及其应用
伯努利方程描述定常运动下理想流体的流速、压力 d v 和高度之间的关系 c 1. 伯努利方程的推导（利用功能原理）
在做定常流动的理想流体取一细流管，经
b 过短暂时间 △t ，截面 S1 从位置 a 移到 b，
2
S2
Δt
v
S1
1
截面 S2 从位置c 移到d ，流过两个截面的 体积分别为
伯努利方程表明在同一流管的不同截面处，单位体积流体的动 能，单位体积流体的势能，单位体积流体的压强之和为一常量
2. 伯努利方程的应用 （1）小孔流速
如图所示SB＜＜SA，取 A、B 两点为参考点， 由伯努利方程可得
SA
SB
SB vB 0 SA 选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得 1 2 PA gh = PB v B 2 1 2 又由PA= P B =P 0 可得 r gh = r vB 2
（3）管1、4中的压强差.
2
1
v2
4
v1
3
v4
v3
s2
v2
h2
v1 S1 打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果
例2. 利用一管径均匀的虹吸管从水库中引水， 其最高点B比水库水面高3.0m，管口C比水库 水面低5.0m,求虹吸管内水的流速和B点处的 压强是多少？
B A C
hA
hB
hc
可见，虹吸管最高处的压强比大气压强小， 因此水可以上升到B处
B
h
适合于测定液体的流速的皮托管
h
A B
（4）文丘里流量计（测量流体体积流量）
h
SA SB
例3. 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入 管4。如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均 为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作定常流动， 分别求（1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
（2）喷雾原理
由于S2 很小，流速v2 很大，故 使P2 低于周围大气压，当流速v2 大到使P2 低于大气压时，容器内 流体就会上升到2处，被高速气 流吹散成雾，这种现象称为空吸 现象。
S1 v1
P 1
S2 P2 v2
P0
（3）皮托管 适合于测定气体的流速的皮托管
(a) A和B距离足够远，以使开口处的压 强和流速都具有自由流体的流速和压强。 A (b) 压强计左管指示的压强为流体在B处 的压强，而右管指示的压强为A处的压 强。(c) 由于A口迎着流体运动方向，流 体在此处流速降为零。(d) 流管水平放置， A、B处高度差近似为零。
由 S AvA = SB vB 可知， vA =
1 2 1 2 PA + r vA + r ghA = PB + r vB + r ghB 2 2
vB =
到小孔处的流速相等
虹吸管
2gh （托里拆利公式）
B A C hA hB hc
表明流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落
用来从不能倾斜的容器中自动排出液体 虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点 水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理 可知 vA » 0 ，因此其实质为小孔流速问题 类似地可求得
a
Δt
D V1 = v1S1D t
D V2 = v2 S2D t
由连续性原理可知
D V1 = D V2 = D V
下面利用功能原理研究这段流管内的流体运动
Δt S2
P
2
Δt S1
P
h2
h1
1
1 2 1 2 P r v1 + r gh1 = P2 + r v2 + r gh2 1+ 2 2 1 2 P + r v + r gh = C 2