5．3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式 要点透视：
1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
2．遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件．
3．线段的定比分点公式，要注意求定比分点A 的值，以便顺利求出分点坐标．
活题解析：
例1．(2002年天津卷)平面直角坐标系中， O 是坐标原点，已知两点A (3， 1)，B (－1，3)，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程是( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2＋(y －2)2=25
C ．2x －y ＝0
D ．x ＋2 y －5＝0 要点精析：I 设OC =(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB =(－1，3)， α·
OA =(3α，α)，βOB =(－β，3β)，又αOA +βOB =(3α－β，α+3β)， ∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴ 33x y αβαβ=-⎧⎨=+⎩
， 又α＋β＝1，因此得x ＋2y ＝5，所以选D ．
思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法． 例2．(2003年江苏卷)已知常数a >0，向量c =(0，a )，i ＝(1，0)，经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A (0，a )以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ，试问是否存在两个定点E ，F ，使得|PE |＋|PF |为定值？若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，说明理由．
要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
解：根据题没条件，首先求出点P 满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P 到两定点的距离之和为定值． 因为i =(1，0)，c ＝(0，a )， 所以c +λi =(λ，a )，i －2λc ＝(1，－2λa )．
因此直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax ，
消去参数λ，得点P (x ，y )的坐标满足y (y －a )=－2a 2x 2，
整理得222
()211()82
a y x a -+= ① 因为a >0，所以得
（1）当a =2
2时，方程①表示圆，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （2）当0<a <22时，方程①表示椭圆，焦点E
2a )，F (
2
a )
为合乎题意的两个定点；
（3）当a >22时，方程①表示椭圆，焦点E
(0, 1(2a )和F (0,
－1(2a )为合乎题意的两个定点。

例3．如图所示，平行四边形ABCD 顶点A 的
坐标为(－2，1)，一组对边AB ，CD 的中点分别是
M (3，0)，N (－1，－2)，求其余顶点坐标．
要点精析：抓住平行四边形是中心对称图形，
用中点坐标即可求解．
解法1：设其余三个顶点B ，C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为M 是AB 的中点，
11232102
x y -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩, 解得1181x y =⎧⎨=-⎩, 所以B (8，－1)． MN 的中点为 P (1，－1)，且P 是AC 中点，可得 C (4，－3)．
再由N 为CD 中点，可得D (－6，－1)．
所求顶点坐标为B (8，－1)，C (4，－3)，D (－6，－1)． 解法2：设B 点坐标(x ，y )，则AM ＝MB ，即(5，－1)＝(x —3，y )，
351x y -=⎧⎨=-⎩解得81
x y =⎧⎨=-⎩，所以B (8，－1)．
同理，由AM =DN =NC ，求得 C (4，－3)，D (－6，－1)．
思维延伸：本题的两种解法体现了线段的定比分点坐标公式与向量坐标运算的统一性．同时，还体现了向量坐标运算的优越性．
练 习 题
一、选择题
1．已知平行四边形三个顶点的坐标为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，则第四点的坐标为（ ）
A ．(1，5)或(5，－5)
B ．(1，5)或(－3，－5)
C ．(5，－5)或(－3，－5)
D ．(1，5)或(－3，－5)或(5，－5) 2．在梯形ABCD 中，AB //CD ，且|AB |=λ|DC |(λ≠0)．若AB =a ，AD =b ， 则AC 等于（ ）
A ．λa ＋b
B ．a +λb
C ．1λa ＋b
D ．a +1λb 3．已知a ＝(－2，5)，|b |= 2|a |．若b 与a 反向，则b 等于（ ）
A ．(－4，10)
B ．(4，－10)
C ．(－1，25)
D ．(1．－25) 4．设点P ( 2，3)分有向线段12PP 所成之比为2
1，点P 1的坐标为(1，2)，则P 2的坐标是（ ）
A ．(2，3)
B ．(5，4)
C ．(4，5)
D ．(5，6)
5．已知△ABC 的三个顶点 A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)．若直线x =a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值为（ ）
A ．3
B ．1+22
C ．13
3 D ．22 6．在△ABC 中，A ( 0，7)，B (－4，5)，重心G (0，3
1)，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形
二、填空题： 7．已知两个向量a =(3，4)，b =(2，－1)，若a +x b 与a －b 平行，则x ＝ . 8．已知A (－3，2)，AB =( 8，0)，则线段AB 中点的坐标为 . 9．设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB =2a +k b ，BC =a ＋b ，CD =a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为 .
10．已知三点A (1，1)，B (2，－4)，C (x ，－9)共线，则x 的值是 .
三、解答题： 11．已知向量a =(8，2)，b =(3，3)，c =(6，12)，p =(6，4)．问：是否存在实数x ，y ，z ，同时满足下列两个条件：①p =x a +y b +z c ，② x ＋y ＋z ＝1？如果存在，请求出x ，y ，z 的值；如果不存在，请说明理由．
12．如图所示，已知三点A (x
1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，
y 3)，D 点分AB 的比是3
1，E 在BC 上，且使△BDE 的面积是△ABC 的一半，求向量DE 的坐标．
13．如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，
//BE AC ，AC =CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于
F 点，求证AF ＝AE 。

14．运用向量的观点求246cos cos cos 777πππ++的值。

15．已知点O ( 0，0)，A ( 1，2)，B ( 4，5)及OP ＝OA ＋t AB ，试问：
（1）t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？
（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由。