09:52
( B)
B、 2 , 2
C、 3,2
D、 2,4
4 .已 知 a ( 4 , 2 ) , b ( 6 , y ) , 且 a / / b , 则
3_ _ . y _
5 .已 知 a (1, 2 ) , b ( x , 1) , 若 a 2 b 与 2 a b 平 行 , 则 x的 值 为 _ 0.5 _____ . 6 .已 知 平 行 四 边 形 A B C D 四 个 顶 点 的 坐 标 为 A ( 5 , 7 ) , B ( 3 , x ) , C ( 2 , 3 ) , D ( 4 , x ) , 则 x _5 ___ .
解 ： a = ( 1, x ) 与 b ( x , 4 ) 共 线 ( 1) 4 x ( x ) 0 x 2
又 a 与 b同 向 x 2
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例 2 : 已 知 A ( 1, 1) , B (1, 3 ) , C ( 2 , 5 )， 判 断 A、 B 、 C 三 点 的 位 置 关 系 .
1 2
AB,பைடு நூலகம்
1 2
A B , 求 点 C 、 D、 E的 坐 标 .
点 C 、 D 、 E 的 坐 标 分 别 是 ( 0 , 3 )， ( 3 , 9 )， ( 2 , 1) .
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巩固练习：
1 . 若 a ( 2 , 3 ) ,b ( 4 , 1 y ) , 且 a / / b , 则 y A、 6 B、 5 C、 7 D、 8 (C)
O
x
( x 2 x1 , y 2 y 1 )
有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
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2、共线向量基本定理
向量 b 与向量 a ( a 0 )
共线
当且仅当有唯一一个实数 使得
b a
a
0 0
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b b b
思考：如何用坐标来表示两个
向量的共线关系呢？
7 .已 知 A 、 B 、 C 、 D 四 点 坐 标 分 别 是 (1, 0 )、 ( 4 , 3 )、 ( 2 , 4 )、 ( 0 , 2 ) .试 证 明 四 边 形 A B C D 是 梯 形 . 8 . 已 知 平 面 内 向 量 a (1, 2 ) , b = ( - 3 , 2 ) , 当 k 为 何 值 时 , k a b与 a 3 b 平 行 ? 平 行 时 它 们 是 同 向 还是反向？
2 . 若 A ( x , 1) , B (1, 3 ) , C ( 2 , 5 ) 三 点 共 线 , 则 x的 值 为 ( B ) A、 - 3 B、 - 1 C、 1 D、 3
3 . 若 A B i 2 j 与 D C ( 3 x ) i ( 4 y )（ j 其 中 i、的 j 方 向 分 别 与 x、 y 轴 正 方 向 相 同 且 为 单 位 向 量 ) . A B 与 D C 共 线 ， 则 x、 y的 值 可 能 分 别 为 A、 1 , 2
此 时 当 时 k a b ( 当k 1 3
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时 ， k a b 与 a 3b 平 行 ， 并 且 反 向 .
法二、由法一知：
k a b ( k 3 , 2 k 2 ) , a 3 b (1 0 , 4 )
当 k a b与 a 3 b 平 行 时 , 存 在 唯 一 实 数 使 k a b= （ a 3 b） 由 ( k 3 , 2 k 2 ) = ( 1 0 , - 4 ) 得 k 3 10 2k 2 4 当k 1 3 k 1 3
a //b
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x1 y 2 x 2 y 1
• 例：判断下列两向量是否平行。
(1) a ( 3 , 5 ) , b ( 5 , 3 )
( 2 ) a ( 2 , 3), b ( 4 , 6 )
(3) a ( 3, 3 ), b ( 5, 5)
不平行
a b b
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平面向量共线的坐标表示 讲授新课：
设 a ( x1 , y 1 ), b ( x 2 , y 2 ), 其 中 b 0
a b ( x1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 )
x1 x 2 y1 y 2
x1 x2 y1 y2
a ( x1 , y 1 )
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（2）已知 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 )，求 A B 的坐标.
y
解： A B O B O A
( x 2 , y 2 ) ( x1 , y 1 )
A ( x1 , y 1 ) B ( x2 , y2 )
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8 . 已 知 平 面 内 向 量 a (1, 2 ), b = ( - 3 , 2 ) , 当 k 为 何 值 时 , k a b与 a 3 b 平 行 ？ 平 行 时 它 们 是 同 向 还 是 反 向 ？
解 ： 法 一 、 k a b k (1, 2 ) ( 3 , 2 ) ( k 3 , 2 k 2 ) a 3 b =( 1, 2 ) - 3( - 3 ,2 )=( 1 0 , - 4 ) k a b 与 a 3b 平 行 （ k 3) ( 4 ) 1 0 (2 k 2 ) 0 k =1 3 1 3 -3,2 3 +2)=1 3 ( a 3b )
解:
C
A B ( 2 , 4 ), A C (3, 6 ) 又 2 6 3 4 0 AB / / AC. A、 B 、 C 三 点 共 线 .
A
B
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变 式 2： 已 知 A ( 1, 1), B (1, 3 ), C (1, 5 ) D ( 2 , 7 ), 向 量 A B与 C D 平 行 吗 ？ 直 线 A B 与 C D 平 行 吗 ？
解： A B (1 ( 1), 3 ( 1)) ( 2 , 4 ), C D ( 2 1, 7 5 ) (1, 2 ) 2 2 4 1 0 A B / /C D
A C ( 2 , 6 ), A B ( 2 , 4 ) 而 2 4 2 6 0 A C 与 A B 不 平 行 即 A、 B 、 C 三 点 不 共 线 直 线 AB与 C D不 重 合 AB / /C D
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变 式 3: 已 知 点 A( 1 , 1 ) , B( - 1 , 5 ) , 及 A C = A D = 2 A B ,A E = 解 ： A B (2, 4) A C ( 1, 2 ) , A D ( 4 , 8 ) , A E (1, 2 ) O C O A A C (1, 1) ( 1, 2 ) ( 0 , 3 ) O D O A A D (1, 1) ( 4 , 8 ) ( 3 , 9 ) O E O A A E (1, 1) (1, 2 ) ( 2 , 1)
平行 平行 平行
( 4 ) a (0 , 0 ), b ( 3, 5 )
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例1
已 知 a ( 4 , 2 ), b (6 , y), 且 a / / b , 求 y 的 值 。
解:
a / /b, 4y 26 0 y 3
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变 式 1 . 若 向 量 a = ( 1, x ) 与 b ( x , 4 ) 共 线 且 方向相同，求x
1、平面向量共线的坐标表示？ 2、如何用向量判断三点共线？ 3、如何用向量的坐标运算求线段的定比分 点坐标公式？
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解
ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2,－1), a＋3b＝(1，0)＋3(2，1)＝(7，3)． 由向量平行的条件可得 3·(k－2)－(－1)· 7＝ 0， 所以 k＝－1/3． 此时， ka－b＝ (－7/3,－1)＝－1/3(7,3) ＝－1/3 (a＋3b) ． 09:52 因此，它们是反向的．
平面向量共线的坐标表示
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复习回顾:
1、平面向量的坐标运算方式
(1)、 已 知 a ( x 1 , y 1 ), b ( x 2 , y 2 ), 则 : a b ,
a b , a的 坐 标 .
a b (x x , y y ) 1 2 1 2
a b ( x1 x 2 , y 1 y 2 )
时 , k a b与 a 3 b 平 行 1 3 ( a 3b )
此 时 :k a b
=09:52
1 3
< 0 k a b 与 a 3 b反 向
运用 例1 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k 为何值时,向量ka－b与a＋3b平行？并确定 此时它们是同向还是反向．