浙江专用高考数学一轮复习课时跟踪检测三十九直线平面平行的判定及其性质含解析课时跟踪检测（三十九） 直线、平面平行的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能解析：选D 由空间直线与平面的位置关系可知，平行于同一平面的两条直线可以平行、也可以相交、也可以异面．2．(2018·宁波模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .3．(2018·绍兴期中考试)已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内任意不共线的三点到β的距离都相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是( )A ．①B ．②C ．①③D ．③ 解析：选C 本题宜采用逐个命题验证的方式进行判定．对于命题①，任意不共线三点可以确定一个平面，即为α，该三点到平面β的距离相等，即可得到α∥β，故①正确；对于命题②，由面面平行的判定可知，若l ，m 平行，则不一定能够推理得到α∥β，故②错误；对于命题③，由l ，m 是两条异面直线，通过平移可以在同一个平面内，则该平面与α，β都平行，由平行于同一平面的两个平面平行这一性质可知，α∥β，故③正确．所以满足条件的是①③.4．(2018·舟山二模)已知m ，n ，l 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是( )A ．若m ⊥l ，n ⊥l ，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β解析：选D 若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，可能相交，故B 错误；若m ∥α，n ∥α，则m ，n 可能平行、相交或异面，故C 错误；若α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，故D 正确．故选D.5.如图所示，在四面体ABCD 中，点M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于点E ，连接BN ，并延长交CD 于点F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD二保高考，全练题型做到高考达标1．在空间中，已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b .其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：选B 因为m ∥l 1，且n ∥l 2，又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β，而当α∥β时不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，可能异面．所以α∥β的一个充分而不必要条件是B.3．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．4.在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3解析：选A 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ， 所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝12AC ·12SB ＝452. 5.(2018·舟山模拟)在如图所示的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别为棱AB 和棱AA 1的中点，点M ，N 分别为线段D 1E ，C 1F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有( )A ．无数条B ．2条C ．1条D ．0条解析：选A 法一：取BB 1的中点H ，连接FH ，则FH ∥C 1D 1，连接HE ，D 1H ，在D 1E 上任取一点M ，取D 1E 的中点O ，连接OH ，在平面D 1HE 中，作MG 平行于HO ，交D 1H 于G ，连接DE ，取DE 的中点K ，连接KB ，OK ，则易证得OH ∥KB .过G 作GN ∥FH ，交C 1F 于点N ，连接MN ，由于GM ∥HO ，HO ∥KB ，KB ⊂平面ABCD ，GM ⊄平面ABCD ，所以GM ∥平面ABCD ，同理，NG ∥平面ABCD ，又GM ∩NG ＝G ，由面面平行的判定定理得，平面MNG ∥平面ABCD ，则MN ∥平面ABCD .由于M 为D 1E 上任意一点，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．故选A.法二：因为直线D 1E ，C 1F 与平面ABCD 都相交，所以只需要把平面ABCD 向上平移，与线段D 1E 的交点为M ，与线段C 1F 的交点为N ，由面面平行的性质定理知MN ∥平面ABCD ，故有无数条直线MN ∥平面ABCD ，故选A.6．(2018·金华名校统练)已知直线a ，b ，平面α，β，且a ∥b ，a ⊥β，则“α⊥β”是“b ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ∥b ，a ⊥β，所以b ⊥β，若b ∥α，则α⊥β，故“α⊥β”是“b ∥α”的必要条件；若α⊥β，又a ⊥β，则a ∥α或a ⊂α，又a ∥b ，所以b ∥α或b ⊂α，故“α⊥β”不是“b ∥α”的充分条件．故选B.7．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2；其周长为________cm.解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64 (cm 2)．∵AC ＝2，CE ＝AE ＝52， ∴其周长为AC ＋AE ＋CE ＝2＋5(cm)．答案：64 2＋ 58.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3Q C ，则P Q 的长度为________．解析：由题意知，AB ＝8，过点P 作PD ∥AB 交AA 1于点D ，连接D Q ，则D 为AM 中点，PD ＝12AB ＝4. 又∵A 1Q Q C ＝A 1D AD＝3， ∴D Q ∥AC ，∠PD Q ＝π3，D Q ＝34AC ＝3， 在△PD Q 中，由余弦定理得P Q ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.答案：139.(2018·杭州模拟)如图所示，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD ­A 1B 1D 1的体积．解：(1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，所以BD ∥B 1D 1.又因为BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，所以BD ∥平面CD 1B 1.因为A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A 1B ∥D 1C .又因为A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1，所以A 1B ∥平面CD 1B 1，又因为BD ∩A 1B ＝B ，所以平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)因为A 1O ⊥平面ABCD ，所以A 1O 是三棱柱ABD ­A 1B 1D 1的高．又因为AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2， 所以A 1O ＝AA 21－AO 2＝1.又因为S △ABD ＝12×2×2＝1， 所以V 111ABD A B D ＝S △ABD ·A 1O ＝1. 10.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ， ∴OE 綊D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图所示，设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于P Q ，Q 在直线CD 上，则P Q ＝________.解析：∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝P Q ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥P Q. 又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥P Q ，设P Q ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DP Q.∴P Q PM ＝PD AP＝2，即P Q ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝AP AD ＝13， ∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴P Q ＝223a . 答案：223a 2．如图，斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值．解：(1)当A 1D 1D 1C 1＝1时， BC 1∥平面AB 1D 1.如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1.又OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O .因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1.∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD.又A1OOB＝1，∴DCAD＝1，即ADDC＝1.。