二次函数压轴题1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0<m <4)．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M . (1)求a 的值；(2)若PN ∶MN ＝1∶3，求m 的值；(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP 2、BP 2，求AP 2＋32BP 2的最小值．图① 图②第1题图解：(1)∵A (4，0)在抛物线上， ∴0＝16a ＋4(a ＋2)＋2，解得a ＝－12；(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2，令x ＝0可得y ＝2，∴OB ＝2， ∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△P AN ， ∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m ，∴PN ＝12(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋32m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4，∴－12m 2＋32m ＋2＝4×12(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3；(3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32，第1题解图由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2， ∴OP 2OB ＝32，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32，∴当Q (0，92)时，QP 2＝32BP 2， ∴AP 2＋32BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ，∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，92)，∴AQ ＝42＋（92）2＝1452，即AP 2＋32BP 2的最小值为1452.2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M . (1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标； (2)当PM ＝MN 时，求点P 的坐标；(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE ＋HF 的值为定值，并求出这个定值．第2题图解：(1)∵A (－2，0)，B (4，0)在二次函数的图象上，将A ，B 点代入二次函数表达式中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋（－2）b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝1， ∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4， 将其化为顶点式为y ＝－12(x －1)2＋92，∴顶点D 的坐标为(1，92)；(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0，4)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c (k ≠0)，将点B (4，0)，点C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1c ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4，(5分) ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，∴设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)(－2＜t ＜4)， ∵PN ⊥x 轴于N ， ∴点N 的坐标为(t ，0)， ∵PN 交BC 于M ，∴点M 的坐标为(t ，－t ＋4)，(7分)∵PM ＝MN ，点P 在点M 的上方，∴PN ＝2MN ， 即－12t 2＋t ＋4＝2(－t ＋4)， 解得t 1＝2，t 2＝4(与B 重合舍去)，∴当PM ＝MN 时，点P 的坐标为(2，4)；(8分)第2题解图(3)如解图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)， ∵DH ⊥x 轴于点H ， ∴PG ∥DH ， ∴△AHE ∽△AGP ， △BGP ∽△BHF ， ∴EH PG ＝AH AG ，PG FH ＝BG BH ，∴EH ＝AH ·PG AG ，FH ＝BH ·PGBG ，(10分) 当点G 在BH 上时，∵AH ＝BH ＝3，AG ＝t ＋2，BG ＝4－t ，PG ＝－12t 2＋t ＋4，∴EH ＋FH ＝3(PG t ＋2＋PG 4－t )＝3·(－12)(t ＋2)(t －4)·4－t ＋t ＋2（t ＋2）（4－t ）＝9，同理，当点G 在AH 上，由抛物线对称性可知，结果相同． 综上可知，HE ＋HF 的结果为定值，且这个定值为9.(14分)3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋1与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D .(1)求a 、b 及sin ∠ACP 的值； (2)设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值； ②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．第3题图解：(1)由12x ＋1＝0，得x ＝－2， ∴A (－2，0)，由12x ＋1＝3，得x ＝4，∴B (4，3)． ∵y ＝ax 2＋bx －3经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2·a －2b －3＝042·a ＋4b －3＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，如解图，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E (0，1)． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP ＝∠AEO . ∴sin ∠ACP ＝sin ∠AEO ＝OA AE ＝222＋12＝255； (2)①由(1)知，抛物线的解析式为 y ＝12x 2－12x －3， ∴P (m ，12m 2－12m －3)， C (m ，12m ＋1)，∴PC ＝12m ＋1－(12m 2－12m －3)＝－12m 2＋m ＋4.在Rt △PCD 中，PD ＝PC ·sin ∠ACP ＝(－12m 2＋m ＋4)×255＝－55(m －1)2＋955. ∵－55<0，∴当m ＝1时，PD 有最大值955； ②存在，m ＝52或329.【解法提示】如解图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为点F 、G .第3题解图由图中几何关系可知 ∠FDP ＝∠DCP ＝∠AEO ， ∴cos ∠FDP ＝cos ∠AEO ＝OEAE ＝122＋12＝55， 在Rt △PDF 中，DF ＝cos ∠FDP ·PD ＝55PD ＝－15(m 2－2m －8)． 又∵BG ＝4－m ，∴PBCPCD S S △△＝DFBG ＝－15（m 2－2m －8）4－m＝m ＋25.当PBCPCDS S △△＝m ＋25＝910时，解得m ＝52； 当PBC PCDS S △△＝m ＋25＝109时，解得m ＝329. ∴m ＝52或329.4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA ＝3，AB ＝4，在OC 上取一点E ，使OA ＝OE ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，E ，B 三点． (1)求B ，E 点的坐标及抛物线表达式；(2)若M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MA －ME |最大时，求M 点的坐标； (3)若点D 为OA 中点，过D 作DN ⊥BC 于点N ，连接AC ，若点P 为线段OC 上一动点且不与C 重合，PF ⊥DN 于F ，PG ⊥AC 于G ，连接GF ，是否存在点P ，使△PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝3，AB ＝4, OA ＝OE ，∴A (0，3)，B (－4，3), E (－3，0)． 将A ，B ，E 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝316a －4b ＋c ＝39a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x ＋3；(3分)(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋3的对称轴为直线x ＝－2，点A 关于对称轴的对称点为点B ，∴当|MA －ME |最大时，M 在直线BE 与直线x ＝－2的交点处，即连接BE 并延长交直线x ＝－2于点M ，M 点即为所求，如解图①，(5分)第4题解图①设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过B (－4，3)，E (－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝3－3k ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝－9， ∴直线BE 的解析式为y ＝－3x －9. 当x ＝－2时， y ＝－3， ∴M (－2，－3)；(7分)(3)设P (x ，0)(x ＜0)，如解图②，过点P 分别作PF ⊥DN 于点F ，PG ⊥AC 于点G ，过点G 作GH ⊥OC 于点H ，交DN 于点Q ，连接GF ，第4题解图②∵OA ＝3，AB ＝4，∠AOC ＝90°， ∴AC ＝5，∵D 为OA 的中点，DN ⊥BC ， ∴PF ＝32，sin ∠1＝PG PC ＝OAAC ， ∴PG x ＋4＝35， ∴PG ＝3（x ＋4）5， ∵cos ∠1＝CG PC ＝OC AC ， ∴CG x ＋4＝45， ∴CG ＝4（x ＋4）5. ∵△CGH ∽△CAO ， ∴GH AO ＝CG CA ＝CH CO ，∴GH 3＝CG 5＝CH 4，∴GH ＝35CG ＝35×4（x ＋4）5＝12（x ＋4）25， CH ＝45CG ＝45×4（x ＋4）5＝16（x ＋4）25，(9分) ∴PH ＝QF ＝OC －CH －OP ＝4－16（x ＋4）25＋x ＝9（x ＋4）25， GQ ＝GH －QH ＝12（x ＋4）25－32， ∴在Rt △GQF 中，GF 2＝[12（x ＋4）25－32]2＋81（4＋x ）2625＝9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94. 要使△PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论： (ⅰ)当GF ＝GP 时， GF 2＝GP 2，∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝9（x ＋4）225， ∴x ＝－3916，∴P 1(－3916，0)；(11分) (ⅱ)当FG ＝FP 时，FG 2＝FP 2， ∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝94， ∴x 1＝－4，x 2＝0. ∵点P 不与C 重合， ∴x ＝－4(舍去)，∴P 2(0，0)；(12分)(ⅲ)当PG ＝PF 时，3（x ＋4）5＝32， ∴x ＝－32，∴P 3(－32，0)．(13分)综上所述，存在P 1(－3916，0)，P 2(0，0)，P 3(－32，0)使△PFG 为等腰三角形．(14分)5. 已知：直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，且交x 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，且点P 在AB 的下方，设点P 的横坐标为m . ①试求当m 为何值时，△P AB 的面积最大；②当△P AB 的面积最大时，过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为点D ，问在直线PD 上是否存在点Q ，使△QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．第5题图 备用图解：(1)∵直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ， 则A (6，0)，B (0，－3)，又∵抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，则⎩⎨⎧0＝13×62＋6b ＋c －3＝c ， 解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－32x －3；(2)①∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，13m 2－32m －3)， ∵点P 在直线AB 下方，∴0＜m ＜6，第5题解图①如解图①，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点E ，交x 轴于点D ， 则E (m ，12m －3)，∴PE ＝12m －3－(13m 2－32m －3)＝－13m 2＋2m ， ∴S △P AB ＝S △BPE ＋S △PEA ＝12PE ·OA ＝12(－13m 2＋2m )×6 ＝－(m －3)2＋9，∴当m ＝3时，△P AB 的面积最大；②在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形；点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．【解法提示】直线PD 的解析式为：x ＝3，易得C (－32，0)，D (3，0)， 当∠BCQ ＝90°时，如解图②，易证△COB ∽△QDC ，则CO OB ＝QDDC ，可得Q (3，94)；第5题解图②当∠CBQ ＝90°时，如解图③，易知Q 在AB 上，将x ＝3代入直线y ＝12x －3，得y ＝－32，∴Q (3，－32)；第5题解图③当∠BQC ＝90°时，如解图④，易证△CDQ ∽△QRB ，则CD QR ＝DQBR ，即923－DQ ＝DQ3，无解．第5题解图④综上所述，在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形，点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．6. 如图，抛物线y ＝x 2－4x －5与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D . (1)求A ，B ，C 三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图①，点E (m ，n )为抛物线上一点，且2<m <5，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，求四边形EHDF 周长的最大值；(3)如图②，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②第6题图解：(1)把y ＝0代入y ＝x 2－4x －5，得x 2－4x －5＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝5， ∵点B 在点A 的右侧，∴A ，B 两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)， 把x ＝0代入y ＝x 2－4x －5，得y ＝－5， ∴点C 的坐标为(0，－5)， ∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2；(4分) (2)由题意可知，四边形EHDF 是矩形，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，点E 坐标为(m ，m 2－4m －5)， ∴EH ＝－m 2＋4m ＋5，EF ＝m －2，∴矩形EHDF 的周长为2(EH ＋EF )＝2(－m 2＋4m ＋5＋m －2)＝－2(m 2－5m －3)＝－2(m －52)2＋372，∵－2<0，2<m <5，∴当m ＝52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(8分)第6题解图(3)存在点P ，使以点P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形． 如解图，设点P 的坐标为(2，k )，∵B 和C 两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)， ∴BC ＝52＋52＝52， ①当∠CBP ＝90°时， ∵BC 2＋BP 2＝CP 2，∴(52)2＋(5－2)2＋(－k )2＝22＋(k ＋5)2， 解得k ＝3， ∴P 1(2，3)；(10分) ②当∠PCB ＝90°， ∵BC 2＋PC 2＝BP 2，∴(52)2＋22＋(k ＋5)2＝(5－2)2＋(－k )2， 解得k ＝－7， ∴P 2(2，－7)；(12分) ③当∠CPB ＝90°时， ∵PC 2＋PB 2＝BC 2，∴22＋(k ＋5)2＋(5－2)2＋k 2＝(52)2， 解得k ＝1或k ＝－6， ∴P 3(2，1)，P 4(2，－6)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)7. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过A (2，0)，B (－4，0)两点，直线y ＝2x －2交y 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴交直线CD 于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)求点B 关于直线y ＝2x －2对称的点E 的坐标，判断点E 是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线CE 于点F ，是否存在这样的点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (2，0)，B (－4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－14×4＋2b ＋c ＝0－14×16－4b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－12c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2－12x ＋2； (2)点E 在抛物线上，理由如下：如解图①，设直线CD ：y ＝2x －2与x 轴交于点N ，过点E 作EM ⊥x 轴，垂足为点M ，令y ＝2x －2＝0，解得x ＝1，∴点N 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为(0，－2)， ∵BN 2＝25，BD 2＝20，DN 2＝5，BN 2＝BD 2＋DN 2， ∴BD ⊥CD ，∵点B 和点E 关于点D 对称， ∴BE ＝2BD ，∴BE ＝45， ∵当x ＝－4时，y ＝2x －2＝－10， ∴点C 的坐标为(－4，－10)， ∵BN ＝5，BC ＝10， ∴CN ＝55，又∵∠MBE ＝∠BCN ，∠CBN ＝∠BME ， ∴△CBN ∽△BME ， ∴BE CN ＝ME BN ，即4555＝ME 5，∴ME ＝4，根据勾股定理得BM ＝BE 2－ME 2＝80－16＝8， ∴BM ＝8，∴OM ＝4， ∴点E 的坐标为(4，－4)， 当x ＝4时，y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14×16－12×4＋2＝－4， ∴点E 在抛物线上；第7题解图①(3)存在，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 【解法提示】如解图②，设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋b ′，由(2)得点C (－4，－10)，E (4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ′＝－104k ＋b ′＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝34b ′＝－7，第7题解图②∴直线CE 的解析式为y ＝34x －7.∵PF ⊥x 轴，设点P 的坐标为(a ，－14a 2－12a ＋2)，则点F 的坐标为(a ，34a －7)，∴PF ＝|－14a 2－12a ＋2－(34a －7)|＝|－14a 2－54a ＋9|， 要使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∵PF ∥BC ， ∴PF ＝BC ＝10.当－14a 2－54a ＋9＝10时， 解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1， ∴点P 的坐标为(－1，94)， 当－14a 2－54a ＋9＝－10时， 解得a 1＝－5＋3292， a 2＝－5－3292， ∴点P 的坐标为(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292， －3329＋1518)， 综上所述，存在点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)．8. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过点A (3，－3)和点B (33，0)，过点A 作直线AC ∥x 轴，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D .连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出相应点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)将点A (3，－3)，B (33，0)分别代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝3a ＋3b 0＝27a ＋33b， 解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－332，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－332x ；(2)设P 点的坐标为P (m ，12m 2－332m )，则D (m ，－3)，∴PD ＝|12m 2－332m ＋3|，AD ＝|m －3|， ∵∠ACO ＝∠ADP ＝90°，∴①当△ACO ∽△ADP 时，有AC OC ＝ADPD ， 即33＝|m －3||12m 2－332m ＋3|，∴3|m －3|＝|12m 2－332m ＋3|，∴3(m －3)＝12m 2－332m ＋3或－3(m －3)＝12m 2－332m ＋3，整理得m 2－53m ＋12＝0或m 2－3m ＝0，解方程m 2－53m ＋12＝0得：m 1＝43，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程m 2－3m ＝0得：m 3＝0，m 4＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (0，0)或P (43，6)； ②当△ACO ∽△PDA 时，有AC OC ＝PD AD ， 即33＝|12m 2－332m ＋3||m －3|，∴3|12m 2－332m ＋3|＝|m －3|，∴3(12m 2－332m ＋3)＝m －3或－3(12m 2－332m ＋3)＝m －3， 整理得3m 2－11m ＋83＝0或3m 2－7m ＋43＝0，解方程3m 2－11m ＋83＝0，得：m 1＝833，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程3m 2－7m ＋43＝0，得：m 1＝433，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (833，－43)或P (433，－103)，综上可知：以点A 、D 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点P 的坐标为：P (0，0)或P (43，6)或P (833，－43)或P (433，－103)；(3)存在．在Rt △AOC 中，OC ＝3，AC ＝3，根据勾股定理得OA ＝23， ∵S △AOC ＝12OC ·AC ＝332，S △AOC ＝13S △AOQ ， ∴S △AOQ ＝932，∵OA ＝23，∴△AOQ 边OA 上的高为92， 如解图，过点O 作OM ⊥OA ，截取OM ＝92，第8题解图过点M 作MN ∥OA 交y 轴于点N ， ∵AC ＝3，OA ＝23， ∴∠AOC ＝30°， 又∵MN ∥OA∴∠MNO ＝∠AOC ＝30°，∴在Rt △OMN 中，ON ＝2OM ＝9，即N (0，9)，过点M 作MH ⊥x 轴交x 轴于点H ，∵∠MNO ＝30°，∴∠MOH ＝30°，∴MH ＝12OM ＝94，OH ＝934，即M (934，94)，设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋9(k ≠0)， 把点M 的坐标代入得94＝934k ＋9，即k ＝－3， ∴y ＝－3x ＋9，联立得⎩⎨⎧y ＝－3x ＋9y ＝12x 2－332x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23y ＝15，即Q (33，0)或(－23，15)．9. 如图，抛物线经过原点O (0，0)，与x 轴交于点A (3，0)，与直线l 交于点B (2，－2)． (1)求抛物线的解析式；(2)点C 是x 轴正半轴上一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l 于点E ，交抛物线于点F ，当EF ＝OE 时，请求出点C 的坐标；(3)点D 为抛物线的顶点，连接OD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠BOD ＝∠AOP ？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第9题图 备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ， 将A (3，0)，B (2，－2)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝04a ＋2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ；(2)设直线l 的解析式为y ＝kx ，将B (2，－2)代入y ＝kx 中，得－2＝2k ， 解得k ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝－x ，设点C 的坐标为(n ，0)，则点E 的坐标为(n ，－n )，点F 的坐标为(n ，n 2－3n )．①当点C 在点A 的左侧时，如解图①所示，EF ＝－n －(n 2－3n )＝－n 2＋2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ， ∵EF ＝OE ， ∴－n 2＋2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 三点均与原点重合，舍去)，n 2＝2－2， ∴点C 的坐标为(2－2，0)；②当点C 在点A 的右侧时，如解图②所示，EF ＝n 2－3n －(－n )＝n 2－2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ， ∵EF ＝OE ， ∴n 2－2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 均与原点重合，舍去)，n 2＝2＋2， ∴点C 的坐标为(2＋2，0)；综上所述，当EF ＝OE 时，点C 的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)； (3)存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)．【解法提示】抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94，∴顶点D 的坐标为(32，－94)，设抛物线的对称轴交直线l 于点M ，交x 轴正半轴于点N ，过点D 作DG ⊥OB 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如解图③所示，∵直线l 的解析式为y ＝－x ， ∴∠MON ＝45°，∴△ONM 为等腰直角三角形，ON ＝MN ＝32，OM ＝2ON ＝322， ∴DM ＝94－32＝34， 在Rt △DGM 中，∵∠DMG ＝∠NMO ＝45°， ∴Rt △DGM 为等腰直角三角形， ∴MG ＝DG ＝34×22＝328， ∴OG ＝OM ＋MG ＝322＋328＝1528.设点P 的坐标为(c ，c 2－3c )，当点P 在x 轴下方时，如解图③所示，OH ＝c ，HP ＝3c －c 2，第9题解图③∵∠HOP ＝∠BOD ， ∴tan ∠HOP ＝tan ∠BOD ， ∴HP OH ＝DGOG ，即3c －c 2c ＝3281528，解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝145， ∴点P 的坐标为(145，－1425)；当点P 在x 轴上方时，如解图④所示，OH ＝c ，HP ＝c 2－3c ，第9题解图④同理可得c 2－3cc ＝3281528，解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝165， ∴P 点的坐标为(165，1625)．综上所述，存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)．10. 在平面直角坐标系中，直线y ＝12x －2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式；(2)如图①，连接DC ，DB ，设△BCD 的面积为S ，求S 的最大值； (3)如图②，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由．图① 图②第10题图解：(1)直线y ＝12x －2中，令y ＝0，解得x ＝4， 令x ＝0，解得y ＝－2， ∴点B (4，0)，C (0，－2)，将点B (4，0)，C (0，－2)代入y ＝12x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧8＋4b ＋c ＝0c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－2， ∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－32x －2；第10题解图①(2)如解图①，过点D 作DE ∥y 轴，交BC 于点E ，设点D 的坐标为(x ，12x 2－32x －2)(－1<x <4)，则点E (x ，12x －2)， ∴DE ＝12x －2－(12x 2－32x －2)＝－12x 2＋2x ，∴S ＝S △CDE ＋S △BDE ＝12(－12x 2＋2x )×4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴当x ＝2时，S 有最大值，S 的最大值为4； (3)存在，满足条件的点D 的横坐标为2或2911. 【解法提示】令y ＝0，则12x 2－32x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴A (－1，0)，∵B (4，0)，C (0，－2)，∴AB 2＝52＝25，AC 2＝12＋(－2)2＝5，BC 2＝42＋22＝20， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，如解图②，取AB 的中点P ，第10题解图②∴P (32，0)， ∴P A ＝PC ＝PB ＝52， ∴∠CPO ＝2∠ABC ， ∴tan ∠CPO ＝OCOP ＝ tan2∠ABC ＝43，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点R ，交BC 的延长线于点G ，连接CR ， ①当∠DCM ＝2∠ABC ＝∠DGC ＋∠CDG ， ∵DG ∥x 轴， ∴∠DGC ＝∠ABC ， ∴∠CDG ＝∠ABC ，∴tan ∠CDG ＝tan ∠ABC ＝OC OB ＝12，即CR DR ＝12，设点D (x ，12x 2－32x －2)， ∴DR ＝x ，RC ＝－12x 2＋32x ，∴－12x 2＋32xx ＝12，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2， ∴点D 的横坐标为2； ②当∠MDC ＝2∠ABC ， ∴tan ∠MDC ＝43，设MC ＝4k ，∴DM ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k MG ＝12，∴MG ＝6k ，∴CG ＝2k ，∴DG ＝35k ， ∵∠MGD ＝∠RGC ，∠DMG ＝∠CRG ＝90°， ∴△DMG ∽△CRG ， ∴DM CR ＝DG CG ，∴CR ＝255k ，RG ＝2CR ＝455k ，即3k CR ＝35k 2k ，∴DR ＝35k －455k ＝1155k ， ∴DR CR ＝1155k 255k ＝x－12x 2＋32x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2911， ∴点D 的横坐标为2911，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为2或2911.。