定积分与微积分
一、知识回顾：
1.用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：
1
()n
i i b a
f n ξ=-∑； ④取极限：
()
1
()lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑⎰
2.曲边图形面积：()b
a
S f x dx =⎰；
变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰
；
变力做功 ()b
a
W F r dr =
⎰
.
3.定积分有如下性质： 性质1 =⎰b
a
dx 1
性质2 =⎰
b
a
dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3
⎰=±b
a
dx x f
x f )]()([2
1
（定积分的线性性质）
性质4
⎰⎰⎰
+=c
a
b
c
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<）
4.定积分的计算（微积分基本定理）
（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有
二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A 、
B 、1
C 、
D 、
2.由曲线y=x 2
，y=x 3
围成的封闭图形面积为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
⎰
-==b
a
b a a F b F x F dx x f )
()()()(
3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A 、
B 、4
C 、
D 、6
4. ⎰
+1
)2(dx x e x
等于（ ）
A 、1
B 、e ﹣1
C 、e
D 、e 2
+1
5. ⎰
4
2
1
dx x
dx 等于（ ） A 、﹣2ln2
B 、2ln2
C 、﹣ln2
D 、ln2
6. dx x ⎰--2
2
)cos 1(π
π等于（ ）
A 、π
B 、2
C 、π﹣2
D 、π+2
7. 已知则⎰
-=
a a
xdx 2
1
cos （a ＞0），则⎰a xdx 0cos =（ ）
A 、2
B 、1
C 、
D 、
8. 下列计算错误的是（ ） A 、
⎰-
=π
π
0sin xdx
B 、
⎰
=
1
32dx x
C 、
⎰⎰
-=22
2
cos 2cos π
ππ
xdx xdx
D 、
⎰-
=π
π0sin
2
xdx
9 计算dx x ⎰
-2
24的结果是（ ）
A 、4π
B 、2π
C 、π
D 、
10. 若
0)32(0
2=-⎰
dx x x k
，则k 等于（ ）
A 、0
B 、1
C 、0或1
D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ）
①∑⎰=⨯=
n
i n n i dx x 133
1
031；②∑⎰=⨯-=n i n n i dx x 131031)1(
；③∑⎰=∞→⨯=n i n n n i dx x 1331031lim 。
A .0 B .1 C .2 D .3
12.根据定积分的定义，⎰202
dx x =（ ）
A . ∑=⨯-n
i n n i 1
21)1(
B . ∑=∞→⨯-n i n n n i 121)1(lim
C . ∑=⨯n i n n
i 122)2( D . ∑=∞→⨯n i n n n i 122
)2(lim
13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为
（ ）
A ．
⎰
1
)(t dt t v
B ．dt t v s t ⎰
+
1
0)( C ．00
1
)(s dt t v t -⎰ D ．dt t v s t ⎰-1
0)(
二填空题 15.由曲线
和直线y=x ﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是___________.
16. 设函数f （x ）=ax 2
+c （a≠0），若⎰
≤≤=1
0010),()(x x f dx x f ，
0≤x 0≤1，则x 0的值为 ____. 17.
=⎰
dx x T
29，则T=_______.
18.若dx x S ⎰
=
2
1
2
1，dx x
S ⎰
=2
1
21
，dx e S x ⎰=213，则S 1，S 2，S 3的大小关系是__________.
19．给出下列定积分：
①20
sin xdx π
⎰
②0
2
sin xdx π-⎰
③2
3
xdx -⎰
④2
31
x dx -⎰
其中为负值的有 。
20．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为______． 三解答题
21..求由两抛物线28x y -=，2x y =所围成的图形的面积.
22.求定积分：（1）⎰--31
2)4(dx x x ；（2）⎰-2
1
5)1(dx x ；
（3）dx x x ⎰+20
)sin (π；（4）dx x ⎰-22
2cos π
π；
23.已知c bx ax x f ++=2)(，且2)1(=-f ，0)0('=f ，⎰1
0)(dx x f = – 2，求,,a b c 的值。
24.已知自由落体的运动速度为gt v =，求在时间区间[0,t]内物体下落的距离。