选修2-2第一章单元测试 (一)时间：120分钟 总分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos xC ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos xD ．f ′(x )＝sin x 2x－x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－13．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．25.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为( )A. ⎠⎜⎛-33f (x )d x B.⎠⎛13f (x )d x ＋⎠⎛1－3f (x )d x C. ⎠⎜⎛-31f (x )d x D. ⎠⎜⎛-31f (x )d x －⎠⎛13f (x )d x 6．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断：①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①②③④7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝218．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元9．函数f(x)＝－xe x(a<b<1)，则() A．f(a)＝f(b) B．f(a)<f(b)C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )大小关系不能确定10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( )A ．一个零点，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13内B ．二个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0,1)，(1，＋∞)内 11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)12．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f ′(x )>f (x )，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e a f (0)C ．f (a )<f (0)e aD ．f (a )>f (0)e a二、填空题(每小题5分，共20分)13．过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线的方程为________．14．已知M ＝⎠⎛011－x 2d x ，N ＝⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ，则程序框图输出的S ＝________.15．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和是________．16．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝－x 3－2mx 2－m 2x ＋1－m (其中m >－2)的图象在x ＝2处的切线与直线y ＝－5x ＋12平行．(1)求m 的值；(2)求函数f (x )在区间[0,1]上的最小值．18．(12分)已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k >0)，若f (x )的单调递减区间是(0,4)，(1)求k 的值； (2)当k <x 时，求证：2x >3－1x19.(12分)已知函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围．20.(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x 10，a ，b 为常数，当x ＝10时，y ＝19.2；当x ＝20时，y ＝35.7.(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游收入－投入)21.(12分)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x <0时，f (x )<16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围．22.(12分)(2015·银川一中月考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.答案1．C f ′(x )＝(x )′·sin x ＋x ·(sin x )′＝12x·sin x ＋x ·cos x ，故选C.2．A ∵y ′＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线方程的斜率为a ，切线方程为y －b ＝ax ，即ax －y ＋b ＝0.∴a ＝1，b ＝1.3．B f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e.4．B f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.5．D 由定积分的几何意义可知，函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的阴影部分的面积为⎠⎛1－3f (x )d x －⎠⎛13f (x )d x .故选D. 6．B 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．7．A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A.8．D 设毛利润为L (P )，由题意知L (P )＝PQ －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000，所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700，令L ′(P )＝0，解得P ＝30或P ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．9．C f ′(x )＝－e x －x e x (e x )2＝x －1e x ， 当x <1时，f ′(x )<0，即f (x )在区间(－∞，1)上单调递减，又∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．10．A 利用导数法易得函数f (x )在－∞，－13内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数f (x )的图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内，故选A.11.C 当1≤x ≤2时，f ′(x )≥0，则f (2)≥f (1)；而当0≤x ≤1时，f ′(x )≤0，则f (1)≤f (0)，从而f (0)＋f (2)≥2f (1)．12．B 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x>0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递增，所以g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e a f (0)．13．x ＋y －2＝0解析：设所求切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝－1x 2，∴y ′ |x ＝x 0＝－1x 20，所求切线的方程为 y －y 0＝－1x 20(x －x 0)． ∵点(2,0)在切线上，∴0－y 0＝－1x 20(2－x 0)，∴x 20y 0＝2－x 0.① 又∵x 0y 0＝1，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1， ∴所求直线方程为x ＋y －2＝0.14.π4解析：M ＝⎠⎛011－x 2d x ＝14π×12＝π4，N ＝∫π20cos x d x ＝sin x |π20＝1，M <N ，不满足条件M >N ，则S ＝M ＝π4.15.n n ＋1解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝1. 则f (x )＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 其和为⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 16．[1，＋∞)解析：根据题意，知f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.17．解：(1)因为f ′(x )＝－3x 2－4mx －m 2，所以f ′(2)＝－12－8m －m 2＝－5，解得m ＝－1或m ＝－7(舍去)，即m ＝－1.(2)令f ′(x )＝－3x 2＋4x －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝13.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )在区间[0,1]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝5027.18．解：(1)f ′(x )＝3kx 2－6(k ＋1)x ，由f ′(x )<0得0<x <2k ＋2k ，∵f (x )的递减区间是(0,4)，∴2k ＋2k ＝4，∴k ＝1.(2)证明：设g (x )＝2x ＋1x ，g ′(x )＝1x －1x 2.当x >1时，1<x <x 2，∴1x >1x 2，∴g ′(x )>0，∴g (x )在x ∈[1，＋∞)上单调递增．∴x >1时，g (x )>g (1)，即2x ＋1x >3，∴2x >3－1x .19.解：(1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间[0，＋∞)． 当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k ，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k ，＋∞，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2k .(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值，当k >0时，依题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＝8k 2－12k 2＋1>0，即k 2>4，所以k 的取值范围为(2，＋∞)．20．解：(1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2a ×202＋10150×20－b ln2＝35.7， 解得a ＝－1100，b ＝1，则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x 10(x ≥10)．(2)由题意知T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x 10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x， 令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍去)或x ＝50.当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，T (x )在(10,50)上是增函数；当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴x ＝50为T (x )的极大值点，又T (50)＝24.4.故该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元．21.解：(1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0，有两个实数解，从而Δ＝1－4c >0，∴c <14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )<0，函数单调递减．∴x <0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x <0时，f (x )<16d 2＋2d 恒成立，∴76＋d <16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)>0，∴d <－7或d >1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．22．解：(1)f ′(x )＝e x －2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是，当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：故＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.由(1)及a >ln2－1知，对任意x ∈R ，都有g ′(x )≥g ′(ln2)＝2－2ln2＋2a >0，所以g (x )在R 内单调递增．于是，当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)，而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.。