公式计算其面积的近似值如下表：
n
1
2
4
8
Tn
2.9
3.1
3.131
3.139
请根据表中数据计算该零件表面积精度足够高的近似值。
解：辛普森序列
Sn
4 3 T2n
1 3 Tn
，柯斯特序列 Cn
16 15
S2n
1 15
Sn
，龙贝格序列
Rn
64 63
C2n
1 63 Cn
得出龙贝格算法数值表如下：
k
T2k
0
2.9
x1
,
x2
]
f [x0 , x1]）
9.6，g2
h2
6
（f h3
[
x2
,
x3
]
f [x1, x2 ]） 18
；
在自然边界条件下， y0''
0，M0
y0''
2 0 ，且有 2
M1 3.16, M 2 8.21
1 2
M1 M 2
g1
- 1 g2
y0''
，即
2 0.5
0.4 2
M1 M 2
产品
材料消耗
A
B
可供原材料（Kg） C
原材料
甲
2
1
乙
1
2
丙
2
2
1
200
3
500
1
600
每件产品利润（万元）
4
1
3
（1）怎样安排生产，使利润最大，建立数学模型．
（2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）。
解：（1）设 A 为 x1 ，B 为 x2 ，C 为 x3 ，由题可得
max Z (4x1 x2 3x3 )
n
1)
n y0
其中： t x x0 0 ； h
Newton
向后插值公式：
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
y0
t(t
1) (t n!
n
1)
n
yn
其中： t x xn 0 h
二、（本题 12 分）已知 y f (x) 的函数值如下
x
-1.5
0
1
2
f (x)
2
-1
1
9
在区间[1.5,2] 上求满足自然边界条件的三次样条插值函数 S (x) 在第一个小区间的表达式，并计算 f (1) 的近似值。
3x4(1)
8.75
1 2
(3
x (1) 3
)
0
1 7
(21
2
x (1) 1
6
x (1) 2
6
x (1) 4
)
2.64
（雅克比迭代不收敛）
1 4
(11
x (1) 1
3x2(1)
3
x (1) 3
)
2.38
1 1 2 3 1
1 1 2 3
（2）系数矩阵 A 0 2 1 0 = 0 1 2 6 7 6 2 2 1
（2）由于
1，2
未知，选取
S12
2 1
S
2 2
2 2
~
F
(m
1,
n
1)
，可得
2 1 2 2
的置信区间为
（
S12
,
S12
）
S22F 2 (m 1, n 1)
S
2 2
F1
2
(m
1,
n
1)
由（1）可得
2 1
2 2
置信水平为
0.95
的置信区间为： (0.168,11.605) .
六、（本题 10 分）为计算一形状为曲边梯形零件的表面积，在将其分布区间逐次分半测量曲边的高度，并用复合梯形
四、（本题 16 分）设方程组为 0
2
1
0
x2
3
2 1
6 3
7 3
6 4
x3 x4
21 11
（1）利用雅可比（Jacobi）迭代格式进行迭代计算求近似解， 取初始值 X 0 (0.00, 0.00, 0.00, 0.00)T ,保留 2 位小
数，迭代 2 次；
（2）利用矩阵 LU 直接分解方法求准确解。
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）
考试日期：2014 年 月 日
时间 100 分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题 24 分，每小题 3 分)
11 1 1
3
2
4
（1）如果
Ax
b,
A
1 2
6 5
1 3
，矩阵
A 1
1
1
3
3 4 4
，A
，利用 Gauss-Seidel 迭
7
x(0) 2
2
x(0) 3
3x4(0)
7.00
1 2
(3
x(0) 3
)
1.50
1 7
(21
2
x(0) 1
6
x(0) 2
6
x(0) 4
)
3.00
1 4
(11
x(0) 1
3x2(0)
3x3(0) )
2.75
x1(
2)
x(2) 2
x(2) 3
x(2) 4
7
x (1) 2
2
x (1) 3
xi 0,i 1,2，，6
（2）列出初始单纯形表并进行迭代得：
基变量 Cb
Xb
x1
x2
x3
x4
x5
x6
4
1
3
0
0
0
x4
0
200
2
1
1
1
0
0
100
x5
0
500
1
2
3
0
1
0
500
x6
0
600
2
2
1
0
0
1
300
j
Z 0
-4 -1
-3
0
0
0
x1
4 100
1
1
1
1
2
2
2
0
0
200
x5
0 400
0
3 2
5 2
max Z (4x1 x2 3x3 )
2x1x1 2
x2 x2
x3 200 3x3 500
，引进松弛变量
x4 ,
x5 ,
x6
0
化为
2x1x1 2
x2 x2
x3 x4 200 3x3 x5 500
2x1 2x2 x3 600
2x1 2x2 x3 x6 600
x1 0, x2 0, x3 0
f (x) 1 ，可得
1dx 2
1
A1 A2 A3 A4 。
（5）已知 y f (x) 通过点 (xi , yi ),i 0,1,2,3 ，则其 Lagrange 插值基函数 l2 (x)
；
答案：
l2
(x)
(x x0 )(x x1)(x x3 ) (x2 x0 )(x2 x1)(x2 x3 )
代法求解此方程组是否收敛
；
9 53
答案： ， ，收敛
2 12
解析：|| A ||1 为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，|| A || 为行范数，等于各行绝对值之和的最大值，A 为严
格对角占优矩阵，根据课本 P143 定理 5.4.12 知，Jacobi 和 G-S 均收敛。
（2）利用迭代法求解非线性方程 f (x) 2x ex 0 的根，取初值 x0 0.5 。给出一个根的存在区
解： h1
1.5, h2
1, h3
1；1
h1 h1 h2
0.6, 2
h2 h2 h3
0.5；1
1 1
0.4, 2
1 2
0.5 ；
f
[x0 ,
x1 ]
0
1 2 (1.5)
2,
f
[ x1 ,
x2 ]
1 (1) 1 0
2,
f
[ x2 ,
x3 ]
9 2
1 1
8
；
g1
h1
6
（f h2
[
（8）计算函数 f (x) 在区间 [a, b] 起点 a 附近的近似值时，应用 Newton 向前插值公式而不用向后插值公式的原因
是
。
答案：误差传播方式不同，近似解在 a 附近时采用向前插值公式误差较小。
解析：Newton
向前插值公式：
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2 y0
t(t
1)(t n!
i 1
i 1
Lyy
n
yi2
n
2
y
。
i 1
（7）算 法 y f (x1, x2 ) 2 x12 x2 ， 设 x1 和 x2 的 绝 对 误 差 分 别 为 (x1 ) 和 (x2 ) ， 则
(y)
；
答案： x1*2 (x2 ) 2x1*x2* (x1)
解析： y* [x1* (x1)]2[x2* (x2 )]
解：（1）将方程组转化为等价方程组：
x1 7 x2 2x3 3x4
x2
1 2
(3
x3 )
x3 x4
1