中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案高等数学(专科)一、填空题: 1、函数1142-+-=x x y 的定义域就是 。
解:),2[]2,(∞+--∞ 。
2、若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f 。
解:62-x 3、sin limx x xx→∞-= 。
答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4、已知22lim 222=--++→x x bax x x ,则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知,024=++b a ,得42--=a b ,又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5、已知∞=---→)1)((lim0x a x be x x ,则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b abe x a x x x ,∴0,1a b =≠ 6、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点就是x = 。
解:由)(x f 就是分段函数,0=x 就是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处就是间断的,又)(x f 在)0,(-∞与),0(+∞都就是连续的,故函数)(x f 的间断点就是0=x 。
7、设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()=+1n y(1)!n +8、2)(x x f =,则__________)1)((=+'x f f 。
答案:2)12(+x 或1442++x x 9、函数22ln(1)x y z--=的定义域为 。
解:函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为:{10|),(22<+<y x y x 且x y 42≤}10、已知22),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f 、解:令x y u +=,x y v -=,则,22u v u vx y +-==,()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=,22(,)()4xf x y x y =-11、设22),(yx xxy y x f ++=,则=')1,0(x f 。
=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=2000(,1)(0,1)1(0,1)limlim 2x x x xx f x f x f xx∆→∆→∆∆+-∆-∆+'===∆∆ 00(0,1)(0,1)00(0,1)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆+--'===∆∆。
12、设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则tzd d ＝ 。
解:22sin 3cos dzx t t y dt=-+ 13、=⎰⎰dx x f d d dx d)( 。
解:由导数与积分互为逆运算得,)()(x f dx x f d d dx d=⎰⎰。
14、设)(x f 就是连续函数,且x dt t f x =⎰-13)(,则=)7(f 。
解:两边对x 求导得1)1(332=-x f x ,令713=-x ,得2=x ,所以12131)7(22===x x f 、 15、若21d e 0=⎰∞+-x kx ,则_________=k 。
答案:∵)d(e 1lim d e 2100kx k x b kx b kx--==⎰⎰-+∞→∞+-kk k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→∴2=k16、设函数f(x,y)连续,且满足⎰⎰+=Dy d y x f xy x f 2),(),(σ,其中,:222a y x D ≤+则f(x,y)=______、解:.4442x a y π+ 记⎰⎰=Dd y x f A σ),(,则2),(yAx y x f +=,两端在D 上积分有:⎰⎰⎰⎰+=DDd yAxd A σσ2,其中⎰⎰=Dxd A 0σ(由对称性),⎰⎰⎰⎰==aDa d d d y 0423202.4sin πρϕρϕσπ即 44a A π=,所以,.4),(42x a y y x f π+=17、求曲线2,422ayx ax y ==所围成图形的面积为 ,(a>0) 解:223a18、∑∞=--122212n n nx n ; 解:令2x y =,则原幂级数成为不缺项的幂级数∑∞=--11212n n ny n ,记其各项系数为n b ,因为21212lim 2122212lim lim 11=+-=+⋅-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ,则20222<≤⇒<<-x y , 故22<<-x 、当2±=x 时,幂级数成为数项级数∑∞=-1)12(21n n ,此级数发散,故原幂级数的收敛区间为)2,2(-、19、()02='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为321121⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 。
20、微分方程03='-''y y 的通解为xe c c y 321+=、 21、微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c ey x2sin 2cos 213+=-。
22、设n 阶方阵A 满足|A|=3,则=|1-*7-2A A |= 、 答案:()311n- 23、11111111x ---就是关于x 的一次多项式,则该多项式的一次项系数就是 、 答案: 2;24、f (x )=312514xx x就是 次多项式,其一次项的系数就是 。
解:由对角线法则知,f (x )为二次多项式,一次项系数为4。
25、A 、B 、C 代表三事件,事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC 、 26、事件A 、B 相互独立,且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = 、解:∵A 、B 相互独立, ∴P (AB )=P (A )P (B )∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0、2+0、5–0、1=0、627、A,B 二个事件互不相容,()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= 、解:A 、B 互不相容,则P (AB )=0,P (A –B )=P (A )–P (AB )=0、828、对同一目标进行三次独立地射击,第一、二、三次射击的命中率分别为0、4,0、5,0、7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 、解:设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”,则三次射击中恰有一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++,即有 P (C B A C B A C B A ++)=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0、36 29、已知事件 A 、B 的概率分别为P(A)＝0、7,P(B)＝0、6,且P(AB)＝0、4,则P(AB )＝ ;P(A B －)＝ ;解:P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0、9P (A –B )=P (A )–P (AB )=0、7–0、4=0、330、若随机事件A 与B 都不发生的概率为p,则A 与B 至少有一个发生的概率为 、解:P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(二、单项选择题:1、函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx ( ) A 、就是奇函数 B 、就是偶函数;C 、既奇函数又就是偶函数D 、就是非奇非偶函数 解:利用奇偶函数的定义进行验证。
)(11)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x xx x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。
2、若函数221)1(x x xx f +=+,则=)(x f ( ) A 、2x B 、 22-x C 、2)1(-x D 、12-x 解:因为2)1(212122222-+=-++=+x x xx x x ,所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2-=x x f ,故选项B 正确。
3、设1)(+=x x f ,则)1)((+x f f =( ).A. xB.x + 1C.x + 2D.x + 3解:由于1)(+=x x f ,得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f将1)(+=x x f 代入,得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案:D4、已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ,其中a ,b 就是常数,则( ) (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a解:()()011lim )1(lim 22=+-+--=--+∞→∞→x bx b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案:C5、下列函数在指定的变化过程中,( )就是无穷小量。
A 、e 1xx ,()→∞ B 、sin ,()xxx →∞; C 、ln(),()11+→x x D 、x x x +-→110,()解:无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以0sin lim=∞→xxx而A, C, D 三个选项中的极限都不为0,故选项B 正确。
6、下列函数中,在给定趋势下就是无界变量且为无穷大的函数就是( )(A))(1sin∞→=x xx y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ; (D))0(1cos 1→=x xx y 解:111sin lim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x ,故不选(A)。