初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
如果（1）当n=1时，P(1)不成立；（2）设n>1,若对所有的自然数m<n,P(m)成立，则必可推出P(n)成立。
那么,P(n)对所有的自然数都成立。
数学归纳法是一种非常常用的数学方法，其重要性不必多说。
另外，由归纳法原理还可推出两个在数学中，特别是初等数论中常用的自然数的性质，即最小自然数原理和最大自然数原理。
并且最小自然数原理是我们常用的第二数学归纳法的基础。
此外，在初等数论中还经常用到的一个工具，那就是鸽巢原理，也就是同等意义下的在组合数学中的抽屉原理。
介绍完自然数和整数及其性质定理等数论基础后，下面来关注初等数论的一写重要方面，即整除、带余数除法、辗转相除法、素数、约数、最大公约数理论、算术基本定理等等。
整除既然是初等数论的基础内容，看似简单的整除，若要领略各中精髓以及其中之奥妙，仍需下一番苦功夫。
单从整除的定义就有各种解释方法：1）设a,b∈Z,a≠0,如果存在q∈Z,使得b=aq,那么就说b可被a整除，记作a∣b.2） Z上定义一种关系R，令R={(a,b)∣a≠0.b∈Z}，且在<Z + &S226;>使ax=b有解，称为Z上的整除关系。
（任意的δ∈R，存在a,b∈Z，使得δ=（a,b）∈R,一般写成aRb,称为a与b有整除关系，也称a是b的约数，也称b是a的倍数。
）aRb令为a∣b,这就回到了第一种定义，其实这两种定义方式看似一样，其数学内涵却大有不同：第一种定义方法是从最原始的观点出发，也可说从“整除”的字面意思来定义，也是中学最常用的一种定义方式，因此只能算作一种简单明了的数学思维，并不能真正体现数学的高等数论。
尽管初等数论是一种初等思想去解决一些高等难题。
第二种定义方法则焦点于高等代数中的环、域定义。
环、域定义让我们的数学定义方式更加广泛，这是初等数学中所没有的，因此有的时候初等数学解决不了的问题就可以用此种定义去解决，这给了我们更广泛的思维空间。
对整除的各方面性质可以归纳如下：1）序关系≤ (N,<) 这来源于近似代数，故不做研究。
2）等价关系① aRa 自反关系② aRb =>bRa对称关系③ aRb,bRc=>aRc 传递性注意：整除不是等价关系3）整除具有线性可加性a∣bi (1≤i≤n) ó a∣∑bixi xi∈Z4）整除可约性a∣bó ma∣mb(m≠0)5）整除与符号无关a∣bó∣a∣∣∣b∣ ó -a∣bóa∣-b6）a∣b(b≠0)=>∣a∣≤∣b∣上面这些性质可以灵活的加以利用，其魅力就可显现出来：已知a,b∈Z.a2+b2≠0,存在x,y∈Z使得ax+by=1.若a∣bq,则可证a∣qA ,b同例1存在ax+by=1 如果a∣n,b∣n 则ab∣n整除的这些性质应用可谓变幻无穷。
特别是在后面的素数、合数的相关性质方面及其证明中。
下面就来介绍一下关于素数的一些性质，当然介绍素数的同时还涉及到关于合数的问题。
点到部分再一一介绍。
从目前所学的内容来看关于素数的性质占了很大的比重，应该说是素数和整除的性质占了很大的部分，故彰显其重要性。
素数的概念与中学学的相差不大，只存在名称的扩充问题。
显然约（因、除）数，非显然约（因、除）数，真约（因、除）数的辨别问题。
当然须指出的是以后所介绍的素数一般指正的。
知道素数的概念后就应该思考一下关于素数的基本求法。
在课本随后的介绍中讲到了Eratosthenes筛法（在本书的第八章：素数分布的初等结果中有详细的讲解）来自书中的推论6即为该筛法的相关理论背景：推论6：设整数a≥2.(ⅰ) 若a是合数，则必有不可约数p∣a,p≤a1/2(Ⅱ) 若a=p1p2…ps的表示式，则必有不可约数p|a,p≤a1/s其主要原理就来自于这个推论6。
当然此种意义下的Eratosthenes筛法是最简单的了。
对于它的推广应用还很多，比如说：如何找出1，2，…,N中至多两个素数的乘积的数？这就是推广意义下的应用，只是在推论6的理论下a的二分之一的情况改为三分之一的情况，这也可以看出推论6也可以推广的。
故我们知道该筛法有很多种应用情况，比如说至少两个素数的乘积的情况，至多三个的情况，至少三个的情况等等。
我们可以明显地观察出上面的这些解法是在有限的情况下来讨论的，故我们需要研究一下再不知道具体情况下的素数的一些情况。
在不明确范围的情况下有很多种状况：如：①设n≥1，2n+1是素数的必要条件是n=2k；②2n-1是素数的必要条件是n为素数；其证明也很简单：①若n≠2，则n=am,2不等于大于1的m2n+1=(2a)m+1=(2a+1)((2a)m-1-(2a)m-2+…+1)便可得到②若n是合数，则n=am.a>1,m>12n-1=(2a)m-1=(2a-1)((2a)m-1+(2a)m-2+…+1)便可得到其中数学中的一个著名定理是：不可约数（素数）有无穷多个。
除了课本中给出的证明方法以外，在习题中也有一些证明方式来进行证明：如：1）设n≥0,Fn=2的2N次加上1（它称为Fermat数）再设m≠n,且d|Fn,则dFn由此推出素数有无穷多个，且可得到Fn+1=Fn … F0 +2 ;2) 设F1 =2， An+1=A2n – AN +1,再设n≠m,若d|An,d>1,则 d 不整除于Am,由此推出素数有无穷多个，且可得到An+1=An … A1 +1.(设m>1,m|(m-1)!+1，可得到m是素数。
)有了素数及整除的定义后，首先要考虑的就是公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数。
乍一看，这似乎就是中学内容。
不错，根据初等数论的低落脚点，这属于中学知识的衍生而已。
除了其定义是通过整除来定义以外，其他的性质也有适当的延伸。
其中较重要的一个就是：如果存在整数x1,x2,x2,…,xk,使得a1x1+a2x2+a3x3+…+akxk=1,则a1,a2,…,ak是既约的，即使互素的。
--------（1）这一定理在后面部分有着十分重大的作用。
如在实现建立最大公约数理论的第二个途径处：设a1,…,ak是不全为零的整数，有1）（a1,a2,…,ak）=min{s=a1x1+a2x2+…+akxk;xj∈Z(1≤j≤k),s>0},即a1,…,ak 的最大公约数等于a1,…,ak的所有整系数线性组合组成的集合S中的最小正整数。
2）一定存在一组整数x1,0, … ,xk,0 使得(a1, … ,ak )=a1 x1,0 + … + ak xk,0 ---------（2）要论及上面这个定理得应用，下面可以举一个简单的例子：若（a,b）=1则任一整数n必可表示为n=ax+by,x,y是整数。
由(a,b)=1及上定理（2）知存在x0,y0, 使得ax0+by0=1,因而取x=nx0,y=ny0, 即满足要求。
此题属于定理（1）（2）得综合运用，仍可想到的是在定理（2）有一种特殊情况，若其中的每一个元素均两两互素，那么情况（2）也就变成情况（1）了，因此情况（2）可以看作此种情况（1）的推广，情况（1）就看作情况（2）得特殊情况而已。
在构造一系列既约数方面应用得较多的方法就是下面这个方法：（a1/(a1,…,ak),…,ak/(a1,…,ak)）=1关于最大公约数理论和最小公倍数理论的进一步性质推广，重在利用带余数除法在最大公约数理论部分讨论。
整数集合最重要的特性就在于其中可以实现带余数除法（也称带余除法或除法算法），它是初等数论中的证明中最重要、最基本、最直接的工具。
具体应用带余数除法时常取以下更灵活的形式：设a,b是两个给定的整数，a≠0,再设d 是一给定的整数，那么，一定存在唯一的一对整数q1与r1，满足b=q1a+r1,d≤r1<|a|+d.此时，a|b的充要条件是a|r。
另外这个时候还应该灵活区分最小非负余数、绝对最小余数、最小正余数、余数。
此类应该在具体计算中有更广泛的作用，当然对于明确此类定义有很大的帮助。
依据带余数除法定义，可得出推论：设a>0,任一整数被a除后所得的最小非负余数是且仅是0,1,…,a-1这a个数中的一个。
这个推论最直接的用法就是整数分类以及进位制表示法，间接影响到辗转相除法。
首先来看整除分类：j mod m称为j关于除数m所在的剩余类，则有0 mod a∪1 mod a∪…∪(a-1) mod a=Z,其中0≤i≠j≤（a-1）是集合j mod a 和j’ mod a 不相交。
此时是利用全体整数按被a除后所得的最小非负余数分类，分成了两两不相交的a个类，这对诠释整除的含义有更积极的意义。