4.2.1标量磁位的定义
在无电流区域 H =0，可定义标量磁位m
H= m
Q
m
H dl
P
两点间的磁压
U mAB
B
H
A
dl


d mB
mA
m
mA
mB
标量磁位与静电场中相似，但有很大不同：
1）电位具有明确的物理意义， 但标量磁位没有物理意义。
2）电压与积分路径无关，但是两点间的磁压随积分路径而变。
A1t = A2t
在分界面P点处作一个小圆柱，上 下端面为S，高h0，由于A=0
A2 图 4-6
A1n
A1
1
S P
h0
2
V AdV SA ds 0
A1nS A2nS=0 A1n = A2n
A2
A2n
图 4-6
因此，矢量磁位在分界面的衔接条件为 A1=A2
l H dl SJ ds
B dS 0
S
4.1.1安培环路定理的微分形式
当磁力线所在平面上的闭合回路 l 缩小 ，其面积S0
时，可写为
lim l H dl lim SJ dS
ΔS0 ΔS
ΔS0 ΔS
H = J
则得 rot H = J 或 H = J
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4
4.1.3 B和H的衔接条件
在两种电介质分界面上，围绕P点 作一个很小的矩形回路
由
l H dl SJ dS
由于Δh→0，H1 tΔl –H2 tΔl = KΔl
得
H1 t H2t= K
H1
K H2t


HΔ1ht →0
H2
当分界面上没有自由电流时,则 H1 t = H2 t
解：由于电流分布具有轴对称性，可知磁场
J
分布也具有轴对称性，H只有沿圆周的分量，
且只与r有关。
er e ez
H 1 r r
0
0

1 r
(rH r
)
ez
0 rH 0
1）rR时，满足
(rH r
)

rJ 0
2）rR时，满足
(rH r

)

0
不定积分求解，得 H


0I 2
ln
R r ez
B1
A1
A1 r
e

0 Ir 2R 2
e
B2
A2
A2 r
e

0I 2r
e
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作业
4-1 已知无限大平面上均匀分布面电流，密度为Kez。试
用安培环路定律微分形式，求载流平面外的磁场强度H。
磁感应强度B？如果是，求相应的电流密度J 。 F1 = K（x ex +y ey）； F2 = K r e
解： B = 0是磁场的特有性质，因此根据矢量的散度
是否总为0，来判断。
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根据
F1 = K（x ex +y ey）； F2 = K r e
F1

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解法二：由于等磁位面与H线正交，在圆柱坐标系中m 只与有关，2 m 2
0
通过不定积分求解
m
C1
m C1 C2
设 x 轴上=0处A点为磁位参考点，则C2=0； 因 =2 处B点 m= I，因此，C1= I / 2
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矢量方程相当于三个标量方程
2Ax = Jx 2Ay = Jy 2Az = Jz
Ax

0 4
J x dV V r
Ay

0 4
J y dV V r
Az

0 4
J z dV V r
三式合并，得
A 0 J dV
S
A dl
l
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A1
4.3.3矢量磁位的衔接条件
围绕媒质分界面上任一点P取一 矩形回路，令h0，
1 l A22t P
A1t h0
m

B dS
S
( A)dS
S
Adl 0
l
A1t l A2t l 0
4.2.2 标量磁位的边值问题
无流区 H 0
定义H m
B 0
(H) (m ) m (m )
B H
均匀媒质 =0
因此,得
2m=0 标量磁位的拉普拉斯方程
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不同媒质分界面上的衔接条件
4 V
r
0 ( J )dV 0 J dV
4 V
r
4 V r
由于J是源点坐标 (x’,y’,z’)的函数， 而算符是对场 点坐标(x,y,z)求导
J=0
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因此，
B ( 0 J dV )
4 V r
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导体内，泊松方程简化为
1 r
r
(r
Az r
)

0 J
z
通过不定积分求解，得
A1 0 Jr C1
r
2r
通解为
A1


1 4
0 Jr 2
C1
ln
r
C2
导体外，拉氏方程简化为
1 (r Az ) 0 r r r
通过不定积分求解，得
m1 = m2
1
m1
n

2
m2
n
例4-3 求无限长直电流I周围的磁位m和场强H
解法一：由安培环路定律，得
等磁位面
H
H

I
2r
e
设x轴（=0）为磁位参考点，则

m
Q
H dl
P
0
I
2r
e
(rd
)e

I 2
|0

I 2
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包围P点作一个很小的扁平闭合圆柱面
由
SB dS 0
由于Δh→0, B1 nΔS + B2 nΔS = 0
得
B1 n = B2 n
B2
B1n
B1
Δh→0
B2n
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例4-2 已知半径为R的长直圆柱导体中的体电流密度均匀
分布为J0ez（A/m2），求磁场强度H。
A（x，y，z）=常矢量
等A面微分方程为
dA dAxex dAyey dAzez 0
磁力线微分方程为
Bdl=0
在平行平面场中，若矢量磁位A=Azez，则在xoy平面内
4-3 真空中在x=2m处分别有沿z轴正、反方向的线电流
6mA。设坐标原点磁位为零，求：y轴上任一点的磁位m。
4-5 已知电流密度为J=J0rez（ra），求矢量磁位A（参考 点选在r = r0 a处）和磁感应强度B。
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4.3.4磁力线方程与等A面方程
等A面方程为
l S
表明恒定磁场是有旋场，其场源是电流密度J
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4.1.2磁通连续性原理的微分形式
当闭合面S缩小，体积V0时，磁通连续性原理可
写为
lim SB dS 0
ΔV 0 ΔV
则得
divB=0 或 B = 0
表明恒定磁场是无散场，磁力线是无头无尾的
例4-1 在园柱坐标系中下列矢量中常数K0，问哪个可能是
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由H1tH2t=K和，得
1 1
( A1 )t

1 2
( A2 )t

K
对于平行平面磁场 A1 = A2
1 A1 1 A2 K
1 n 2 n
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例4-7 半径为R的长直圆柱导体沿z轴 通有电流I，导体内外媒质的磁导率 均为0，求导体内外的矢量磁位A和 磁场强度H。
J0r 2

C1 r
不定积分求解，得
H

C2 r
由于r=0处H，故 C1=0
r=R处H1t=H2t ,即
J0R C2 2R
因此，导体内
H1

J0r 2
e
得
C2

J0R2 2
故导体外H 2

J0R2 2r
e
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4.2 标量磁位
H =J表明恒定磁场是有旋场，但在无电流区域 H =0，可有条件地定义标量磁位。
解：在求解之前，先分析本题给定的 条件，进行必要的简化：
1）导体内的电流密度均匀分布J=（I/R2）ez，具有轴对
称性。 2）矢量磁位A只有Az分量(与J同方向)，矢量形式泊松方 程2A= 0J，简化为标量形式泊松方程2Az= 0Jz
3）由于Az只与r有关，偏微分方程进一步简化为只含一 个变量r的微分方程。
4 V r
考虑到各种电流，则为
A 0 J dV 0 K ds 0I dl