T11 = cos(k x1d1 ) cos(k x 2 d 2 ) − Y1Z 2 sin(k x1d1 ) sin(k x 2 d 2 )
T22 = cos(k x1d1 ) cos(k x 2 d 2 ) − Y2 Z1 sin(k x1d1 ) sin(k x 2 d 2 )
由此得到
一个周期小单元的等效电路
14
det(T ) = 1
λ2 − (T11 + T22 )λ + 1 = 0
假定 λ1，λ2
λ1λ 2 = 1
λ1 + λ 2 = T11 + T22
x
是其本征值，可得
本征值λ可假定为
λ1 = e − jk d
按本征值的定义
λ2 = e jk d
x
U U T =λ I I U 3i U1i = λi = e ± jk x d I 3i I1i
2 k xl = k02ε rl − k z2
每一个周期的输出与输入关系为
U 3 U1 U1 I = T2T1 I = T I 1 1 3
一个周期小单元的等效电路
T11 = cos(k x1d1 ) cos(k x 2 d 2 ) − Y1Z 2 sin(k x1d1 ) sin(k x 2 d 2 )
n
在d1<x<d范围内
U 2 ( x) cos[k x 2 (d − x)] I ( x ) = jY sin[k (d − x )] x2 2 2 jZ 2 sin[k x 2 (d − x )] U1 (d ) cos[k x 2 (d − x )] I1 (d )
布里渊图是关于周期结构的色散方程
D( k 0 , β x ) = 0 的图解，通常用k0d与βxd的关系曲线表示
n =−∞
6
∑
∞
an ( ρ )e− jkxn x
k0 d ω = / c = vp / c β xd β x d(k0 d) dω = / c = vg / c d( β x d) dβ x
z方向电磁能量的辐射，在x方向表现为波的衰减，因而kx0也是复数。这种情 况下传播的波称为漏波。利用漏波的辐射特性，这种结构可作为漏波天线。
敞开周期结构的k0d~βxd —波束扫描
12
对于漏波辐射，波束的辐射指向角θn为
θ n = arc tan(
β xn
k0
)
随着k0d（或频率f）的增加，当n= -1次空间谐波由图所示的A -1到C-1时，βx由 负（在A -1到B-1之间）变正（在B-1到C-1之间），波束的辐射指向由后向端射 （back fire）到前向端射（end fire）。 要在某一频率范围内只有一个空间谐波模式，例如n= -1次空间谐波产生漏波 辐射，那么对应于n= -2次空间谐波的D-2的纵坐标不能落在n= -1次空间谐波 对应的（A-1，C-1）纵坐标之间。
即
P ( x + d , y , z ) = P ( x, y , z )
从弗洛奎脱定理可知，对于周期结构，如果已知一个周期小单元中场量的解， 其他周期小单元中的场也就唯一确定。故对周期结构的研究取其中一个周期 小单元已足够。
空间谐波
周期结构中的场可分解为基波 及各次空间谐波的组合
5
ψ ( x, y, z ) = e− jkx 0 x P ( x, y, z ) （） 1
敞开周期结构的k0d~βxd —漏波辐射
11
n=-1次空间谐波由A -1到C-1，n= -2次空间谐波由D-2到E-2的快波区域的情况， 为简单起见，假定场在y方向没有变化，即，ky=0，对于z>0的区域，由一般 的色散关系可得 量通过n= -1次空间谐波辐射出去。
2 2 k z = k0 − k x k A -1到C-1范围内， 0 > k x ，所以kz是实数，z方向有波的传播，表示一部分能
间谐波，其中n=0的波称基波，n≠0的波统称为高次谐波。k xn 称为空间谐波 传播常数，其实部常用 β xn 表示。
n =−∞
∑
∞
an ( ρ )e − jkxn x
布里渊（Brillouin）图—周期结构的色散关系
ψ ( x, y , z ) =
k xn = k x 0 + 2nπ / d = β x 0 + 2nπ / d − jα x
P(x, y, z)既然是x的周期函数，故有
P ( x, y , z ) =
ρ = yy 0 + zz 0
n=−∞ =−∞
∑ a ( ρ )e
n
∞
−j
2 nπ x d
（2）
将式（2）代入式（1），得到
ψ ( x, y , z ) =
xn
k xn = k x 0 + 2nπ / d = β x 0 + 2nπ / d − jα x 周期结构中的场量可用诸如 an ( ρ )e − jk x 的波叠加表示。这些波通常称为空
周期层状介质及其传输线模型分析
U l +1 U l I = Tl I l +1 l
l=1或2
13
− jZ l sin(k xl d l ) cos(k xl dl ) Tl = cos(k xl d l ) − jYl sin(k xl dl ) TE模 1 ωµ / k xl Zl = = Yl k xl / ωε rl ε 0 TM模
8
敞开周期结构中的有关特征波
K0d-βx0d色散关系可分成四个区域，它们被 k0d以及由原点发出的±45°两条射线分开。
9
k0d-βx0d平面上，不同区域所对应的波的 传播特征是不同的 在0~90°区域（II和IV），相速vp为正，称为前向波区域；在90°~180°区域（I 和III）相速vp为负，称为返波区域。 ±45°两条射线上，相速等于光速，但方向相反。这种情况下产生的辐射，天 线术语中常用前向端射（end fire）和后向端射（back fire）表示。
敞开周期结构的k0d~βxd —慢波与快波
10
增加k0d，当基波由0到A0，n=-1次空间谐波由-2π到A-1，此时基波传播的是慢 波。 当k0d继续增加，基波由A0到C0，n= -1次空间谐波由A -1到C-1，从A -1到C-1范 围内，n= -1次空间谐波是快波。 k0d进一步增加，基波由C0到D0，n= -1次空间谐波由C-1到D-1，而n= -2次空间 谐波到达D-2，此时基波、n= -1次空间谐波均传播慢波。 k0d再增加，n= -2次空间谐波进入快波区。
2 记算子 L( x, y, z ) = ∇ 2 + k0 ε r ( x)
故有 L( x, y, z )ψ ( x, y, z ) = 0
（） 1
（2）
因εr(x)是周期函数，L(x, y, z)也具有周期性 L( x + d , y , z ) = L( x, y , z )
ψ 比较式（1）和式（2） ( x + d , y, z ) 与 ψ ( x, y , z )
T12 = − j[ Z1 sin(k x1d1 ) cos(k x 2 d 2 ) + Z 2 cos(k x1d1 ) sin(k x 2 d 2 )] T21 = − j[Y1 sin(k x1d1 ) cos(k x 2 d 2 ) + Y2 cos(k x1d1 ) sin(k x 2 d 2 )]
cos[k x 2 (d − x)] = λi jY2 sin[k x 2 (d − x)]
jZ 2 sin[k x 2 (d − x)] U1 (0) cos[k x 2 (d − x )] I1 (0) 一个周期小单元的等效电路
U1 ( x) = f1e − jkx1x + g1e jkx1x 将U（x）表示成 U ( x) = U 2 ( x) = λi f 2e − jkx 2 ( x − d ) + g 2 e jkx 2 ( x − d ) 1 1 f l = (U1 (0) + Z l I1 (0) ) g l = (U1 (0) − Z l I1 (0) )
一个周期小单元的等效电路
U1i I 1i
指数中正负号，当i=1 取负号，i=2取正号。
经过一个周期后，场量只差一个常数因子 e
− jk x d
或
e
jk x d
。
周期层状介质的色散方程
色散关系是指kxn与ω关系 因为
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λ1 = e − jk d
x
λ2 = e jk d
x
而
λ1 + λ 2 = T11 + T22
2 2
7
可以预期，基本的色散关系与原来TEM模的 色散关系偏离不大。 因此可由基波的色散关系k0d~βx0d，只要在 βxd轴上平移2nπ，即可得第n次空间谐波的 色散关系。
k xn = β x 0 + 2nπ / d
布里渊（Brillouin）图—周期结构的色散关系
基本TEM模周期扰动所得的周期结构的色散 关系，计及交点附近不同模式耦合后，就变 得复杂。 对于封闭周期结构，出现所谓通带与禁带。 传播常数的解一般为复数。 对于敞开形式的周期结构，传播常数的复数解 往往与轴向损耗、与轴垂直方向的辐射相联系。
1 cos(k x d ) = cos(k x1d1 ) cos(k x 2 d 2 ) − (Y1 / Y2 + Y2 / Y1 )sin(k x1d1 ) sin(k x 2 d 2 ) 2
k xl 、Y是ω的函数
2 k xl = k02ε rl − k z2